¿Cómo puede el área ser un vector?

Esto podría ser más una pregunta de matemáticas. Esto es algo peculiar del espacio tridimensional. Tenga en cuenta que en tres dimensiones, un área como un plano es un subespacio bidimensional. En una hoja de papel, solo necesita dos números para indicar un punto sin ambigüedades.

Ahora imagínese de pie sobre la hoja de papel, la dirección hacia la que apunta su cabeza siempre será una forma de saber cómo se orienta este plano en el espacio. Esto se llama el vector "normal" a este plano, está en ángulo recto con el plano.

Si ahora elige la convención para que la longitud de este vector normal sea igual al área de esta superficie, obtendrá una descripción completa del plano bidimensional, su orientación en el espacio tridimensional (la parte del vector) y qué tan grande es este plano. (la longitud de este vector).

Matemáticamente, puedes expresar esto mediante el "producto cruzado"

Como dije al principio, esto es algo muy especial para las tres dimensiones, en dimensiones superiores, no funciona tan bien por varias razones. Si desea obtener más información sobre este tema, una palabra clave sería "álgebra exterior"

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En cuanto al significado físico de este concepto, ejemplos destacados son los campos vectoriales que fluyen a través de superficies. Tome un cable circular. Este círculo se puede orientar de varias maneras en 3D. Si tiene un campo magnético externo, puede saber que esto puede inducir una corriente eléctrica, proporcional a la tasa de cambio de la cantidad que fluye a través del círculo (piense en esto como cuánto perforan las flechas el área). Si los vectores del campo magnético son paralelos al círculo (y, por lo tanto, ortogonales a su vector normal), no "perforan" el área en absoluto, por lo que el flujo a través de esta área es cero. Por otro lado, si los vectores de campo son ortogonales al plano (es decir, paralelos a la normal), "perforan" al máximo esta área y el flujo es máximo.

si cambia la orientación entre esos dos estados, puede obtener corriente eléctrica.

El principal régimen de uso es cuando un área es infinitesimalmente pequeña, como se usaría en una integral. En ese caso, podemos ver fácilmente que es plano y la forma realmente no importa. En cuyo caso, podemos codificar la información como un vector, con la magnitud que representa el área (escalar); la elección (como notó) de señalar cualquier lado dado es exactamente eso, una elección, pero que se puede hacer de manera consistente. Podemos extender esto a planos no infinitesimales, pero no funciona tan bien para superficies curvas.

Para ser precisos, lo que realmente quieres es un co-vector . Este es un gadget abstracto que toma un vector y escupe un escalar. Para un plano, desea que esto represente la "cantidad" del vector que pasa por el plano, por lo que debe ser lineal en el vector (duplicar el vector duplica la salida) y debe tener en cuenta el ángulo en el que el vector lo golpea (da un factor de$\cos$). Ahora, podemos preguntarnos cómo representar este co-vector abstracto, ¡y resulta que un vector es una buena idea! Específicamente, podemos representar la acción tomando el producto escalar, que naturalmente codifica la linealidad y el coseno. Ahora, en general, esto tiene la misma cantidad de dimensiones que un vector propio, pero solo codifica un área (una superficie 2D) en 3D --- en 2D obtendrías una línea, en 4D un volumen (¡sí! ¡Un vector de 4 se cruza con un volumen en un punto!).

Si desea aprender más sobre este tipo de cosas, desea investigar la geometría diferencial, donde todo lo que es necesario es tener claro este tipo de cosas y no mezclar vectores y co-vectores (llamados formas en ese campo). Una buena referencia legible es Gauge Fields, Knots and Gravity, que comienza con una descripción general básica de las matemáticas y la desarrolla para uso físico.

Piense en Fuerza es Presión por Área ($F = P\cdot A$). Sabes que la presión es un escalar (no tiene una dirección asociada) y una fuerza es un vector (actúa a lo largo de un eje). Entonces, ¿qué significa eso para la presión?

Tome un área pequeña y vea su contribución a la fuerza total debido a la presión

La dirección de la fuerza es normal al área y su magnitud es proporcional al tamaño del área. Por eso un área infinitesimal${\rm d} A$puede ser un vector Es conveniente pensar en (vector)=(escalar)*(vector).

Hay un ejemplo especialmente pintoresco de la Ley de Pitágoras en tres dimensiones aplicada a las áreas de un símplex. (Donde por "simple" creo que me refiero a una sección de espacio limitada por tres planos ortogonales y un plano arbitrario.) La suma de los cuadrados (de las áreas) de las tres caras pequeñas es igual al cuadrado del área de la cara oblicua. Se explica fácilmente por los argumentos de tipo presión/flujo presentados en las otras respuestas publicadas aquí, además de la condición física obvia de que un fluido no perturbado está en equilibrio consigo mismo.