¿Qué significa para una cantidad física si sus segundas derivadas parciales mixtas no son iguales?

Los lugares de la física donde la conmutación de derivadas parciales tiende a ser importante son las identidades del cálculo vectorial. Las situaciones en las que estas identidades parecen romperse es cuando hay algún tipo de devanado topológico. Luego, las derivadas parciales conmutan en casi todos los puntos, excepto en algunos conjuntos pequeños donde no están definidas pero aún se les puede dar algún significado como una función delta.

Por ejemplo, considere el vector potencial$\mathbf{A}$y su relación con el campo magnético

Entonces, una posibilidad podría ser tomar el vector potencial como la función continua que aparece en la respuesta de Kyle Kanos.

En cambio, el monopolo magnético se describe mediante el vector potencial de una cuerda de Dirac:

El hecho de que necesitemos más de una función equivalente de calibre y el hecho de que las funciones no estén definidas en todos los puntos son típicos de la forma en que falla la conmutación de derivadas parciales en física.

Aquí hay otro ejemplo. Dada una función$f(x,y)$de dos variables

Ahora toma la función$\phi(x,y)$que simplemente devuelve el ángulo de$0$a$2\pi$. Hay una discontinuidad en el eje x positivo donde$0$Satisface$2\pi$, pero el gradiente de$\phi$todavía se puede definir de forma continua aquí. Podríamos considerar una segunda función$\phi^\prime$que en cambio devuelve el ángulo en el rango$-\pi$a$3\pi/4$desplazando la discontinuidad al eje y negativo. Esta función tiene el mismo gradiente que$\phi$y es como el potencial de vector equivalente de calibre adicional en el ejemplo anterior de la cadena de Dirac.

Si nos fijamos en cómo tomar gradientes y rizos en coordenadas cilíndricas

Pero aunque el rotacional parece ser cero, claramente la integral de línea de cualquiera de$\phi$o$\phi^\prime$alrededor de un bucle cerrado que contiene el origen es$2\pi$, lo que parece violar el teorema de Stoke. Sin embargo, en cualquier calibre, el ángulo$\phi$y su gradiente no están definidos en el origen, y ahí es donde se rompe la conmutatividad de las derivadas parciales. Como sabemos que la integral de línea de cualquier lazo cerrado alrededor del origen es$2\pi$esto significa

Esto puede parecer físicamente irrelevante, pero en los superfluidos la función$\phi$es el parámetro de orden, y su gradiente es la velocidad del superfluido. Solo se permite que el superfluido tenga una vorticidad distinta de cero (curvatura de la velocidad) en el núcleo de un defecto topológico. En el límite de espesor cero, el defecto topológico es como la discontinuidad en el origen en el ejemplo anterior.

El requisito general que está buscando es que la función particular sea de clase$C^1$, dónde

... si todo orden$p$derivadas parciales evaluadas en un punto$\mathbf a$:

$$\frac{\partial^p}{\partial x_1^{p1}\partial x_1^{p2}\cdots\partial x_n^{pn}}f\left(\mathbf x\right)\vert_{\mathbf x=\mathbf a}$$ existen y son continuos, donde $p1,\,p2, ..., pn$, y $p$son como arriba, para todos $\mathbf a$en el dominio, entonces $f$es diferenciable de orden $p$en todo el dominio y tiene clase de diferenciabilidad $C^p$.

Asi que$C^1$funciones tendrán genéricamente una segunda derivada discontinua, como se solicita. Wikipedia da la siguiente función como ejemplo de on que no obedece a la simetría de la 2da derivada,

Esta publicación de Math Overflow analiza las funciones que son diferenciables en todas partes pero tienen derivadas discontinuas, pero parece que ninguna de ellas son realmente modelos físicos. Una respuesta incluso dice,

Tal como yo lo veo, las funciones que son derivables pero no$C^1$juega un pequeño papel en la física por la simple y única razón, que juegan un pequeño papel en las matemáticas.

Entonces es posible que las funciones multivariantes que no son$C^2$puede que no se encuentre en física, aunque si alguien tiene un ejemplo, agradeceré la adición.

Si quieres ser físico, tendrías que tener una interpretación física de los derivados.

Si ya ha tomado dos derivadas, puede preguntarse si es posible tomar el gradiente de esas segundas derivadas. Si es así, entonces las segundas derivadas conmutaron, si no, entonces las segundas derivadas son extrañas (si algo no fuera extraño, podría tomar el gradiente).

Tenga en cuenta que tiene un campo vectorial, pero ser un vector no tiene nada que ver. Los campos escalares como la temperatura o la presión también pueden fallar al conmutar las segundas derivadas.

Además, ¿cómo tomas derivadas parciales de vectores en primer lugar? Toma derivadas de los tres campos escalares correspondientes a los componentes (con factores adicionales apropiados si cambia el marco de los vectores de coordenadas).

Entonces, las segundas derivadas no conmutan cuando la segunda derivada es extraña. Eso es bastante vago. Pero aquí hay un ejemplo. Si tiene un campo eléctrico, entonces la primera derivada está relacionada con la densidad de carga, ¿y qué si quiere una densidad de carga cuyo gradiente sea discontinuo? Entonces, ciertas combinaciones de las segundas derivadas del campo eléctrico serán discontinuas, por lo que algunas de ellas tendrán que ser discontinuas.

Entonces, si desea una densidad de carga sin una segunda derivada, es posible que el campo eléctrico no tenga derivadas parciales conmutables.

Eso tiene sentido. Las primeras derivadas tienen que existir en algún sentido (y tenga en cuenta que los bucles y las divergencias pueden existir incluso si los parciales comúnmente utilizados para hacerlos no existen) para que las derivadas del campo eléctrico puedan ser iguales a la distribución de carga. Las segundas derivadas del campo eléctrico pueden no existir si la distribución de carga es discontinua, pero si la carga es un gradiente, entonces las segundas derivadas y el gradiente son continuos, eso es bueno. No es suficiente. Sin embargo, si el gradiente de la distribución de carga es discontinuo, alguna combinación de las segundas derivadas del campo eléctrico es discontinua, por lo que una de las segundas derivadas del campo eléctrico debe ser discontinua. Sin embargo, eso no significa que los parciales no se desplacen, solo que es posible que no se desplacen.

Y hay generalizaciones a derivadas parciales (llamadas derivadas débiles) que siempre conmutan cuando dan funciones, pero a veces dan distribuciones en lugar de funciones. Y esa es solo su forma de detenerse. Después de todo, algunas veces no puedes tomar una derivada una y otra vez.

Y para las personas que quieren asumir que todo va bien, a veces eso hace que se forme el viaje en el tiempo en una región donde el viaje en el tiempo era evitable al no hacer que las cosas fueran suaves, por lo que obligar a que las cosas sean suaves puede cambiar las cosas en gran medida. posible.

Dicho eso. Si tiene algo sin una primera, segunda o tercera derivada, pregúntese: ¿hay algo con esas derivadas que experimentalmente se vea o actúe igual o muy parecido a lo que tengo y cómo podría estar tan seguro de no tener eso en su lugar? ?

Entonces, si hay algo con suficientes derivados que es lo suficientemente cercano a lo que tienes, tal vez eso sea realmente lo que tienes. Las cosas a tener en cuenta son si está haciendo algo que es sensible a las cosas que no puede controlar, la falta de reproducibilidad no es amiga de la ciencia después de todo.

Tenga en cuenta que incluso la falta de una primera derivada parcial regular de un campo eléctrico ocurre, por ejemplo, en una distribución de carga superficial. Entonces, puede hacer fácilmente (matemáticamente) una distribución de carga que sea continua e incluso alinear los gradientes para que coincidan en una superficie, pero configurarlo para que las segundas derivadas no sean continuas y donde los parciales mixtos no concuerden simplemente dando forma a la distribución de carga

Pero esa distribución de carga será una que solo se puede aproximar en el laboratorio. ¿Cómo evitar que haya unos que tengan y no tengan terceras derivadas?

¿A menudo dices que nunca sabes con certeza lo que tienes, que siempre hay algunas aproximaciones? Así que dices que quieres una cosa que tenga algunas derivadas y luego consideras todas las cosas donde ella y sus primeras m derivadas están lo suficientemente cerca de lo que imaginaste, luego imaginas usando alguna cosa aleatoria de ese conjunto.

Eso es similar a las especificaciones que haría en sus notas de laboratorio, que mecaniza un material para que tenga un cierto tamaño con cierto error y luego tal vez también quiera que el borde tenga cierta falta de movimiento a algún error y tal vez quiera eso mueve para no cambiar hasta algún error. Pero en algún momento dejaste de medir y dejaste de especificar, por lo que no sabes ni te importa lo que tienes. Si reproduce regularmente sus resultados, entonces la vaguedad de la especificación no importa, si no puede, es posible que descubra que no solo desea que el tamaño esté dentro de 1 mm, sino que también necesita el borde para no saltar de una pendiente. a otro demasiado, o quizás necesites que la pendiente no cambie demasiado, si importa lo especificarás.

También tenga en cuenta la distinción entre un campo electromagnético macroscópico (promedio) y uno microscópico (que se dispara alrededor de cada átomo individual). Además, un campo de velocidad también es un campo promediado, no es la velocidad de cada molécula de agua en el fluido.

Por lo tanto, la falta de conmutatividad generalmente se da por sentada. Ya sea cambiando a derivados débiles, o considerando campos que tenían cierta diferenciabilidad y luego considerando las cosas que él y sus derivados están lo suficientemente cerca del que tenía en mente.

O incluso simplemente notar que su función matemática era solo un modelo de la configuración real, por lo que los detalles sobre los límites en un punto podrían estar más allá del alcance de su modelo.

Por ejemplo, esas derivadas débiles en realidad solo son sensibles a la derivada promedio en alguna región finita, no les importa un punto.

Una discontinuidad en el flujo de agua podría ser una pared o una obstrucción por la que el agua todavía se está moviendo, pero que no fluye directamente. En corriente eléctrica finita podría ser una sustancia con una conductividad diferente, en particular cero o ∞. En teoría, las segundas derivadas parciales mixtas generalmente no serían iguales, solo en la cúspide de un límite como estos. En la práctica, si uno mira lo suficientemente de cerca la llamada discontinuidad física, puede encontrar que es solo un derivado de muy alto valor, y no una discontinuidad en absoluto, ya que las cosas tienden a desdibujarse cuando uno mira muy de cerca, y no tiene ninguna discontinuidad. bordes afilados. No estoy seguro de si las discontinuidades existen realmente en la física experimental, pero podemos hablar de ellas teóricamente.

Las singularidades en las funciones a menudo conducen a segundas derivadas que no conmutan. En cuanto a una interpretación física, creo que el siguiente ejercicio puede ayudar:

1. La derivada parcial puede ser de Primeros principios puede escribirse como df(x,y)/dx = (f(x+h,y)-f(x,y))/h, es decir, la función se incrementa en h y luego el se encuentra la derivada. (x,y+h). .(x+h,y+h)

   (x, y). .(x+h,y)

Cuando tomas la escritura parcial x y luego la escritura y, te mueves horizontalmente y luego verticalmente. En el otro caso, primero se mueve verticalmente y luego horizontalmente.

Para buenas funciones continuas, llegas al mismo lugar, pero si la función no tiene singularidades y aún así las derivadas no conmutan, eso significa que estás en un espacio donde (x+y) != (y+x) Tal no- los espacios de desplazamiento también pueden dar lugar a derivados que no se desplazan al trabajo.

Todos los derivados son parciales, lo siento, todavía estoy aprendiendo látex, lo siento por la fuente extraña.