Cálculo de Spivak: Capítulo 13 Pregunta 21

Tengo algunos problemas con la parte b de la siguiente pregunta del Cálculo de Spivak:ingrese la descripción de la imagen aquí

En particular, no estoy seguro de qué supuestos con respecto a la función F − 1 y F , se me permite hacer, en función de la información de la pregunta. ¿Puedo suponer que F − 1 está definida en todas partes en [a, b], y acotada, y que f es integrable?

Y si no, ¿qué puedo suponer sobre F − 1 y F ? ¡Gracias de antemano! ¿Podría también evitar dar pistas sobre cómo resolver realmente la pregunta, ya que todavía me gustaría intentarlo yo mismo?

Respuestas (2)

Aquí hay una prueba de que una función creciente definida en [ a , b ] es integrable. https://www.math.utah.edu/~yael/3210_public/exams/Integral.pdf . Suponiendo que aumentar significa estrictamente aumentar, también es uno a uno, por lo que F − 1 también está definida, y es fácil ver que también es monótona, por lo que también es integrable. Una función monótona en un intervalo cerrado también está acotada trivialmente, por F ( a ) y F ( b )

Creo que hay problemas si F contiene una discontinuidad de salto interior, ya que esto crearía una brecha en el dominio de F − 1 . En este caso, F − 1 sigue siendo integrable sobre las partes de [ F ( a ) , F ( b ) ] en el que se define (cambiando a Alan's [ a , b ] aquí, del original [ a , b ] ), pero el teorema en cuestión ya no funciona.

Creo que este problema y la solución de Spivak tienen problemas si hay discontinuidades de salto.

Aunque él no lo dice, sospecho que puede estar implícitamente (quizás incluso sin saberlo) confiando en F siendo continuo en ( F − 1 ( a ) , F − 1 ( b ) ) . Sin esta condición, una discontinuidad de salto causaría una brecha en el dominio de F − 1 .

El teorema todavía funciona en ese caso, más o menos, si permitimos ∫ a b F − 1 para incluir un trozo de área sobre el intervalo en el que F − 1 en realidad no está definido, pero dudo que esto fuera intencionado.

Ver aquí para más detalles (contiene spoilers).

No estoy 100% seguro de esto, ya que mi pregunta vinculada nunca recibió ninguna respuesta.

Actualización : en el caso de una discontinuidad de salto, la fórmula se puede aplicar a una función gramo , dónde gramo toma el valor de F − 1 sobre intervalos donde está definido, y toma el valor constante X 0 en el intervalo donde F − 1 no está definido, donde X 0 es el punto en el que F "salta".

Agregaré algunos detalles a mi pregunta vinculada cuando tenga algo de tiempo.

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