Para la función diferenciable donde f′(0)=af′(0)=af'(0)=a y f′(1)=bf′(1)=bf'(1)=b tenemos que para todo c∈ (a,b)c∈(a,b)c\in(a,b) existe un yyy tal que f′(y)=cf′(y)=cf'(y)=c.

Entonces, lo que estoy tratando de probar: suponga una función$f\colon\mathbb{R}\to\mathbb{R}$es diferenciable y$f'(0)=a$y$f'(1)=b$. Demuestra que para cualquier$c\in(a,b)$existe un$t\in\mathbb{R}$tal que$f'(t)=c$

Mi primer intento fue usar el MVT y básicamente mostrar que debe existir tal punto$y$para$c=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}$y luego usar este punto para construir más valores medios, pero no sabía cómo continuar desde allí o cómo formalizar eso para mostrar que debe ser cierto para todos$c\in(a,b)$. ¡Cualquier ayuda sería muy apreciada!