¿Cómo probar explícitamente que al incluir fermiones de Dirac en la acción de Einstein-Hilbert hacemos que la torsión sea distinta de cero?

Es conveniente reescribir la acción EH en términos de conexión de espín. De su definición

$$\omega^{\mu}_{ab} = e^{\nu}_{a}\partial^{\mu}e_{\nu b} - \Gamma^{\mu}_{\lambda \sigma} e_{a}^{\lambda}e_{b}^{\sigma}$$ puedes (usando la relación de ortogonalidad para las tétradas) obtener $$\tag 1 \Gamma^{\mu}_{\kappa \delta} = e^{b}_{\delta}\partial^{\mu}e_{\kappa b} - e^{a}_{\kappa}e^{b}_{\delta}\omega^{\mu}_{ab}.$$ ecuación $(1)$hace posible reescribir cantidades geométricas, como curvatura, torsión, en términos de tétradas y conexión de espín: $$R_{\mu \nu}^{ab} = e^{\kappa a}e_{\sigma}^{b}R^{\sigma}_{\ \kappa \mu \nu} = \partial_{\mu}\omega_{\nu}^{ab} - \partial_{\nu}\omega_{\mu}^{ab} + \omega_{\mu}^{ac}\omega^{\ b}_{c\nu } - \omega_{\nu}^{ac}\omega^{\ b}_{c\mu },$$ $$S^{a}_{\mu \nu} = \partial_{\mu}e^{a}_{\nu} - \partial_{\nu}e^{a}_{\mu} + \omega^{a}_{\ \mu b}e^{b}_{\nu} - \omega^{a}_{\ \nu b}e^{b}_{\mu}.$$ Entonces la acción EH se puede reescribir como $$\tag 2 S_{EH} = \int d^{4}x\sqrt{-g} e^{\mu}_{a}e^{\nu}_{b}R_{\mu \nu}^{ab} = \int d^{4}x e e^{\mu}_{a}e^{\nu}_{b}R_{\mu \nu}^{ab}, \quad e = det (e^{\mu}_{a}).$$ Añadamos la acción de Dirac a $(2)$: $$\tag 3 S = S_{EH} + S_{D} = \int d^{4}x e e^{\mu}_{a}e^{\nu}_{b}R_{\mu \nu}^{ab} + \kappa \int d^{4}x e \bar{\psi}\left(i\gamma^{\mu}e_{\mu}^{a}D_{a}(\omega ) - m \right)\psi .$$ Formalmente podemos considerar $\omega , e$como cantidades independientes. Entonces la variación de $(3)$con respecto a $e$dará la ecuación de Einstein (dejando el grado de libertad de la tétrada), mientras que la variación con respecto a la conexión de espín dará, después de un conjunto de simplificaciones, algo así como $$S^{a}_{\mu \nu} = i\kappa \bar{\psi}\gamma^{a}\sigma_{\mu \nu}\psi .$$ Entonces, el campo formalmente fermiónico producirá torsión.