Tensor tensión-energía para campos de Dirac y su dependencia de la conexión

En el tensor esfuerzo-energía (SET) para campos vectoriales y escalares libres, cualquier referencia a la conexión$\Gamma^\lambda_{\mu\nu}$en los términos cinéticos parecen estar ausentes ($\nabla_\mu \phi = \partial_\mu \phi$) o se anulan mutuamente ($F_{\mu\nu} = \nabla_\mu A_\nu - \nabla_\nu A_\mu = \partial_\mu A_\nu - \partial_\nu A_\mu$). Esto tiene sentido para mí porque uno no debería necesitar saber las derivadas de la métrica/vielbein para calcular la fuente de las ecuaciones de campo de Einstein (EFE) en un punto. Comenzando con el Lagrangiano simetrizado para un campo de Dirac,

$$\mathcal L = \frac{i}{2}\bar\psi \gamma^\mu \partial_\mu \psi - \frac i2 \bar\psi \overset{\leftarrow}\partial_\mu \gamma^\mu \psi - m \bar\psi\psi,$$

y promoviendo derivadas parciales a derivadas covariantes, obtengo la siguiente forma para el SET:

$$T^{\mu\nu}_{\text{Dirac}} = \frac{i}{2} \bar\psi ( \gamma^\mu \overset\rightarrow\nabla^\nu + \gamma^\nu \overset\rightarrow\nabla^\mu ) \psi - \frac{i}{2} \bar\psi ( \overset\leftarrow\nabla^\nu \gamma^\mu + \overset\leftarrow\nabla^\mu \gamma^\nu ) \psi - g^{\mu\nu} \mathcal L_{\text{Dirac}}$$

En esta expresión para el CONJUNTO de un campo libre de Dirac, parece que no puedo obtener los términos de conexión de espín ($\nabla_\mu \psi - \partial_\mu \psi$) en las derivadas covariantes para cancelar, por lo que este tensor depende explícitamente de las derivadas del vielbein$e^a_\mu$. ¿Esos términos de conexión de espín de hecho se anulan entre sí y reducen las derivadas covariantes a derivadas parciales ordinarias?

Si no, ¿no es esto un problema cuando se conecta a las ecuaciones de campo de Einstein? Dado que los campos de Dirac también obedecen a la ecuación de Klein-Gordon, ¿podemos escribir un Lagrangiano similar al de Klein-Gordon (desechando información sobre el espín) y usarlo para calcular un CONJUNTO independiente de la conexión?