Densidad lagrangiana de Dirac en espacio-tiempo curvo

Estoy tratando de derivar esta forma de la densidad Lagrangiana de Dirac en el espacio-tiempo curvo:

$$\mathcal{L}~=~\det\left(e\right)\bar{\Psi}\Bigg (\frac{i}{2}\gamma^{a}\partial_{a}-m+\gamma^{a}\gamma^{5}B_{a}\Bigg)\Psi$$

a partir de esta forma:

$$\mathcal{L}~=~\sqrt{-g}\Bigg (\frac{i}{2} \bar{\Psi} \gamma^{a} \stackrel{\leftrightarrow}{D}_{a} \Psi-\bar{\Psi}m\Psi \Bigg)$$

Puedo obtener el primer término, sin embargo, en el último término obtengo un factor de$\quad - \frac{1}{2} \quad$por delante, es decir

$$\mathcal{L}~=~\det(e)\bar{\Psi}\Bigg (\frac{i}{2}\gamma^{a}\stackrel{\leftrightarrow}{\partial_{a}}-m-\frac{1}{2}B_{a}\gamma^{a}\gamma^{5}\Bigg)\Psi$$ Intenté derivarlo de varias maneras diferentes y siempre termino con la expresión anterior. El problema es que, en todos los documentos que he leído sobre el tema, se da en la forma que se presenta en la parte superior de esta página. Si ayuda, aquí hay un enlace a mi derivación completa: http://we.tl/mUgiw0BkMh

Realmente agradecería cualquier ayuda para resolver este problema.