Considere una partícula de masa reducida μμ\mu orbitando en una fuerza central con U=krnU=krnU=kr^n donde kn>0kn>0kn>0 [cerrado]

Considere una partícula de masa reducida$\mu$orbitando en una fuerza central con$U=kr^n$dónde$kn>0$.

(a) Explique cuál es la condición$kn>0$nos habla de la fuerza. Dibuje la energía potencial efectiva$U_{eff}$para los casos que$n=2, -1, \text{and} -3$.

(b) Encuentre el radio en el cual la partícula (que dado el momento angular$l$) puede orbitar en un radio fijo. ¿Para qué valores de n es estable esta órbita circular? ¿Sus bocetos confirman esta conclusión?

(c) Para el caso estable, demuestre que el período de pequeñas oscilaciones alrededor de la órbita circular es$\tau_{osc}=\frac{\tau_{orb}}{\sqrt{n+2}}$. Argumentar que si$\sqrt{n+2}$es un número racional, estas órbitas son cerradas. Dibújelos para los casos en que n=2,-1 y 7 .

He resuelto (a) y (b), pero quedé atrapado en (c).

Para (a), sé que$kn>0$significa que la fuerza es una fuerza central y su dirección apunta al origen. Para los casos que$n=2, -1, \text{and} -3$, dibujé el gráfico, de la siguiente manera,

Para (b), la energía potencial efectiva es$U_{eff}=kr^n+\frac{l^2}{2\mu r^2}$y tomando una derivada con respecto a$r$, Obtuve$\frac{dU_{eff}}{dr}=knr^{n-1}-\frac{l^2}{\mu r^3}$. De acuerdo a$\frac{dU_{eff}}{dr}=0$, sabíamos que la partícula puede orbitar en un radio fijo$knr_0^{n+2}=\frac{l^2}{\mu}$.Y luego, obtuve eso cuando$n>-2$, esta órbita circular es estable al calcular$\frac{d^2U_{eff}}{dr^2}$en$r=r_0$.

Para (c) obtuve el resultado$\tau_{osc}=\frac{\tau_{orb}}{\sqrt{n+2}}$al usar eso$\mu \ddot{r}=-\frac{dU_{eff}}{dr}$y series de Taylor en$r_0$. Pero no tengo idea de cómo justificar las condiciones que necesitan las órbitas cerradas.