¿Forma de una órbita cúbica inversa?

Usando la ecuación de Lagrange

$$\frac{d^2}{dt^2}\left(\frac{1}{r}\right)+\frac{1}{r}=\frac{-m r^2}{l^2}F\left(r\right)$$

Y enchufando

$$F\left(r\right)=\frac{-k}{r^3}$$

Obtenemos

$$\frac{d^2}{dt^2}\left(\frac{1}{r}\right)+\frac{1}{r}=\frac{k m}{l^2 r}$$

Lo que simplifica a

$$\frac{d^2}{dt^2}\left(\frac{1}{r}\right)+\frac{1}{r}\left(1-\frac{k m}{l^2}\right)=0$$

Asumiendo

$$r\left(0\right)=r_p, r'\left(0\right)=0$$

Podemos resolver la ecuación (3) para r lo que nos da

$$r\left(\theta\right)=r_p sec\left(\theta\sqrt{1-\frac{km}{l^2}}\right)$$

Simplemente resuelva la ecuación diferencial de segundo orden obtenida al usar las Leyes de Newton, es decir

$$F=-\frac{k}{r^3}$$ o $$m\frac{d^2r}{dt^2}=-\frac{k}{r^3}$$

Si resuelves esta ecuación diferencial, entonces tu ecuación para la trayectoria será del radio en función del tiempo. La ecuación será una cónica no central.

SUGERENCIA (PARA RESOLVER LA ECUACIÓN DIFERENCIAL): Multiplique ambos lados por$2\frac{dr}{dt}$y obtendrás algo como

$$\frac{d}{dt}\left[\left(\frac{dr}{dt}\right)^2\right]=\frac{k}{m}\cdot \frac{d}{dt}\left(\frac{1}{r^2}\right)$$

Espero que puedas integrarte y encontrar el camino a partir de ahora.

Parto de la ecuación de la siguiente manera,

$$\begin{equation} m\ddot{r}=-\frac{dU_{eff}(r)}{dr}, \end{equation}$$

donde la energía potencial efectiva ( EPE )$U_{eff}(r)$es la suma de la energía potencial real$U(r)$y la centrifuga$U_{cf}(r)=\frac{l^2}{2mr^2}$($l$es el momento angular de la partícula,$l=mr^2\dot{\phi}=\text{Constant}$). Y puedes encontrar la ecuación EPE en cualquier libro de mecánica clásica.

Para tu pregunta,$U(r)=-\int_{\infty}^{r}(-\frac{k}{r^3})dr=-\frac{k}{2 r^2}$, Entonces la ecuación EPE es que,

$$m\ddot{r}=-\frac{d}{dr}(-\frac{k}{2 r^2}+\frac{l^2}{2mr^2})=\frac{k}{r^3}-\frac{l^2}{mr^3}$$

Simplificando la ecuación anterior, tengo

$$\ddot{r}-\frac{km-l^2}{m^2}\cdot \frac{1}{r^3}=0$$

Y luego, reescribo el operador diferencial$\frac{d}{dt}$en términos de$\frac{d}{d\phi}$usando la regla de la cadena ($\frac{d}{dt}=\frac{l}{mr^2}\frac{d}{d\phi}$) y hacer la sustitución ($u=\frac{1}{r}$), por lo que tengo la ecuación orbital de la siguiente manera,

$$\frac{d^2u}{d\phi^2}+\omega^2\cdot u=0,$$

dónde$\omega=\frac{\sqrt{km-l^2}}{l}$.

Hasta ahora, la pregunta quedó completamente clara, es solo una cuestión de oscilación armónica simple (Al menos tienen las mismas ecuaciones). Y la solución de la ecuación orbital se resolvió fácilmente,$u(\phi)=A_0\cos(\omega \phi-\delta)$. Reescribiéndolo en términos de$r(\phi)$,

$$r(\phi)=\frac{r_0}{cos(\omega \phi-\delta)},$$

Debe ser la solución que queremos. Obviamente, la órbita de la partícula es una línea recta como debería ser.