Condición para órbita cerrada [cerrada]

Hay una rama de estudio llamada teoría de sistemas dinámicos que trata cuestiones como esta. La respuesta no es sencilla, excepto en un puñado de casos. Las trayectorias pueden parecer muy caóticas y, sin embargo, cuando se observan durante un tiempo suficientemente largo, resultan ser perfectamente periódicas. Surge la noción del tiempo de recurrencia de Poincairé , que sugiere que durante un tiempo suficientemente largo, cualquier órbita debe considerarse periódica. Esto, a su vez, conduce a un debate sobre si existe algo así como un número irracional en un sistema físico con límites más bajos para longitudes y tiempos medibles.

La respuesta directa a esta pregunta tan amplia es que no hay una respuesta directa.

Para agregar a la buena respuesta de KDN, hay un teorema llamado teorema de Bertrand que establece que en el caso de una partícula que se mueve en un potencial central, los únicos potenciales que producen órbitas cerradas estables son los potenciales del oscilador armónico radial y del cuadrado inverso.

Tu referencia a las proporciones racionales sugiere que podrías estar pensando en el sistema dinámico simple en el toro --- un ejemplo de juguete favorito de los matemáticos. Véase, por ejemplo, el artículo de wikipedia "Flujo lineal en el toro".