¿Cómo paso de ◊∃x□[∃y(y=x) ∧ Mx] a ∃x□[∃y(y=x) ∧ Mx]?

He estado pensando en el argumento ontológico recientemente. estoy tratando de ir de

• ◊∃x□[∃y(y=x) ∧ Mx]

a

• ∃x□[∃y(y=x) ∧ Mx]

Elijo esa formulación porque parece expresar que x tiene la propiedad de existencia necesaria y excelencia esencial máxima.

También estoy tratando de evitar el uso de la Fórmula Barcan y, por lo tanto, evitar un dominio constante. Quizá pueda ver cómo llegar a él pensando en él en términos de mundos posibles. Tratando de resolver esto en S5 cuantificado sin la fórmula Barcan, la fórmula Converse Barcan y la existencia necesaria. Quiero pensar en esto en términos de semántica de dominio variable y no estoy seguro de si eso me obligaría a usar una lógica libre. Mi lógica modal cuantificada no es tan buena, por lo que no estoy seguro de si se cumple lo siguiente.

Dado ◊∃x□[∃y(y=x) ∧ Mx] hay algún mundo w accesible desde el mundo real tal que en w , ∃x□[∃y(y=x) ∧ Mx]. Entonces supongo que puedes usar la instanciación existencial en ese mundo de modo que haya una constante tal que □[∃y(y=a) ∧ Ma]. Dado que la relación de acceso es simétrica en S5, en el mundo real también se cumple que □[∃y(y=a) ∧ Ma]. Luego, usa la generalización existencial, ∃x□[∃y(y=x) ∧ Mx].

Supongo que tengo dos preguntas. Primero, ¿es correcto el razonamiento anterior en un S5 cuantificado con un dominio variable? En segundo lugar, ¿cómo paso de

• ◊∃x□[∃y(y=x) ∧ Mx]

a

• ∃x□[∃y(y=x) ∧ Mx]

en una prueba línea por línea?

EDITAR: Dada la sugerencia de Dennis, necesito modificar mi argumento a lo siguiente: dado ◊∃x□[∃y(y=x) ∧ Mx], hay un mundo w accesible desde el mundo real donde en w es cierto que ∃x□[∃y(y=x) ∧ Mx]. Use EI con alguna constante a y obtenga □[∃y(y=a) ∧ Ma]. Usa el axioma S4 y obtén □□[∃y(y=a) ∧ Ma]. Luego, usa la simetría de la relación de acceso en S5 para obtener □[∃y(y=a) ∧ Ma] en el mundo real. Luego usa EG para obtener ∃x□[∃y(y=x) ∧ Mx].

Mi objetivo fundamentalmente es formalizar el argumento de Plantinga, donde la premisa clave es que "Posiblemente, existe un ser que es máximamente excelente en todos los mundos posibles", que es lo mismo que "Posiblemente, existe un ser que es esencialmente máximamente excelente". y necesariamente existente". Tomar una lectura de dicto del argumento simplifica enormemente las cosas, pero me interesó ver cómo se desarrolla el argumento en la lógica modal cuantificada, en particular evitando el uso de la Fórmula Barcan y usando un dominio variable.

EDIT2: Algunas preguntas más.

Bien, Dennis, he estado pensando en esto un poco más y aquí están mis pensamientos hasta ahora.

(I) En sus cuadros que muestran que ◊∃x□[∃y(y=x) ∧ Mx] ⊢ ∃x□[∃y(y=x) ∧ Mx], en la línea 15L apela a Ma en w2 , de línea 5 donde tenía □[∃y(y=a) ∧ Ma] en @, y dividió el conjunto de □∃y(y=a) ∧ □Ma y descargó la caja para que también sea cierto en w2 . Me preguntaba si solo podemos decir que si sabemos que a está en el dominio de w2 y ¿cómo lo sabemos?

¿Es porque sabemos que □∃y(y=a) o tiene algo que ver con VS5 con NI o algo más u otro? En el libro de Priest, la noción de la Regla de Restricción de Negatividad se discute en el contexto de la identidad necesaria, donde no podemos extender el predicado de identidad, o predicados en absoluto, a inexistentes y esto parece bastante plausible. Esto parece respetar el actualismo serio en todo caso. Pero seguramente no queremos decir entonces que dado □Ma, Ma se mantiene en todos los mundos y, por lo tanto, existe necesariamente, ¿verdad? ¿Se mitiga más o menos esta preocupación al tener □∃y(y=a), que parece ser solo □E!a, o tenemos motivos para preocuparnos por esta formulación?

También estaba mirando Lógica para la filosofía de T. Sider y parece considerar precisamente este tema en las páginas 312 - 314 en la sección sobre "Necesidad fuerte y débil". Su sugerencia es que traduzcamos oraciones como "a es necesariamente F" de modo que respetemos el actualismo serio tal vez por □[∃x(x=a) → Fa]. Entonces, ¿tal vez podríamos reestructurar la formulación como ∃x□[∃y(y=x) ∧ (∃z(z=x) → Mx)]?

(II) Además, si a ⊢ b ¿se sigue que □(a → b)?

(III) También podemos mostrar □(◊∃x□[∃y(y=x) ∧ Mx] → ∃x□[∃y(y=x) ∧ Mx]), tal como parece, el mismo argumento puede ser hecho relativizado a cualquier mundo arbitrario? O tal vez porque ◊∃x□[∃y(y=x) ∧ Mx] ∧ ¬∃x□[∃y(y=x) ∧ Mx] es inconsistente según los cuadros, entonces ¬◊(◊∃x□[∃ y(y=x) ∧ Mx] ∧ ¬∃x□[∃y(y=x) ∧ Mx]) que es simplemente □(◊∃x□[∃y(y=x) ∧ Mx] → ∃x□ [∃y(y=x) ∧ Mx]).

Otra forma de mostrarlo sería suponer ◊¬(◊∃x□[∃y(y=x) ∧ Mx] → ∃x□[∃y(y=x) ∧ Mx]). Por lo tanto, en algún mundo posible w1 , ◊∃x□[∃y(y=x) ∧ Mx] y ¬∃x□[∃y(y=x) ∧ Mx]. Pero parece que podría dar un cuadro ligeramente modificado para mostrar que esto conduce a una contradicción en todas las ramas. Dado lo primero, en algún mundo w2 , ∃x□[∃y(y=x) ∧ Mx] por lo tanto por EI □[∃y(y=a) ∧ Ma]. Por el axioma S4, □□[∃y(y=a) ∧ Ma] en w2 entonces □[∃y(y=a) ∧ Ma] en w1 . Por EG, ∃x□[∃y(y=x) ∧ Mx] en w1 que contradice ¬∃x□[∃y(y=x) ∧ Mx] en w1. Por lo tanto, □(◊∃x□[∃y(y=x) ∧ Mx] → ∃x□[∃y(y=x) ∧ Mx]). Además, ∃x□[∃y(y=x) ∧ Mx] → ◊∃x□[∃y(y=x) ∧ Mx], por lo tanto ◊∃x□[∃y(y=x) ∧ Mx] ≡ ∃x□[∃y(y=x) ∧ Mx] y entonces □(◊∃x□[∃y(y=x) ∧ Mx] ≡ ∃x□[∃y(y=x) ∧ Mx]).

(IV) Además, puedo mostrar ◊∃x□[∃y(y=x) ∧ Mx] → □∃x□[Mx ∧ ∃y(y=x)] como consecuencia, ¿verdad? Dado ◊∃x□[∃y(y=x) ∧ Mx], existe un mundo w1 accesible desde el mundo real donde en w1 es cierto que ∃x□[∃y(y=x) ∧ Mx]. Use EI con alguna constante a y obtenga □[∃y(y=a) ∧ Ma] en w1 . Use el axioma S4 y obtenga □□[∃y(y=a) ∧ Ma] en w1 . Entonces, para cualquier mundo w , □[∃y(y=a) ∧ Ma]. Y cualquier w usa EG para obtener ∃x□[∃y(y=x) ∧ Mx], por lo tanto, □∃x□[Mx ∧ ∃y(y=x)] - un UG sobre el conjunto de mundos posibles W . Por lo tanto, ◊∃x□[∃y(y=x) ∧ Mx] → □∃x□[Mx ∧ ∃y(y=x)].

También podemos mostrarlo mediante cuadros.

También parece bastante fácil mostrar que □(◊∃x□[∃y(y=x) ∧ Mx] → □∃x□[Mx ∧ ∃y(y=x)]) como parece que se puede hacer el argumento anterior relativizado a cualquier mundo posible arbitrario y la negación de la implicación produce una contradicción en el cuadro. Pero para la prueba indirecta, supongamos que no fuera el caso entonces ◊¬(◊∃x□[∃y(y=x) ∧ Mx] → □∃x□[∃y(y=x)] ∧ Mx) por lo tanto en algún mundo posible w1 , ◊∃x□[∃y(y=x) ∧ Mx] y ¬□∃x□[∃y(y=x) ∧ Mx] y por lo tanto tenemos ◊∃x□[∃y( y=x) ∧ Mx] y ◊¬∃x□[∃y(y=x) ∧ Mx] en w1 . Considere primero lo primero: hay algo de w2 que ∃x□[∃y(y=x) ∧ Mx]. Para ◊¬∃x□[∃y(y=x) ∧ Mx] en w1 , hay algún w3 que ¬∃x□[∃y(y=x) ∧ Mx] en w3 . Pero dado ∃x□[∃y(y=x) ∧ Mx] en w2, solo usa EI y por lo tanto □[∃y(y=a) ∧ Ma] y por lo tanto □□[∃y(y=a) ∧ Ma] por el axioma S4. Por lo tanto, en w3 , □[∃y(y=a) ∧ Ma] que por EG da ∃x□[∃y(y=x) ∧ Mx] en w3 , contradiciendo ¬∃x□[∃y(y=x ) ∧ Mx] en w3 . Por lo tanto, □(◊∃x□[∃y(y=x) ∧ Mx] → □∃x□[Mx ∧ ∃y(y=x)]). También debe quedar claro que □∃x□[Mx ∧ ∃y(y=x)] → ∃x□[Mx ∧ ∃y(y=x)] → ◊∃x□[∃y(y=x) ∧ Mx] de modo que □∃x□[Mx ∧ ∃y(y=x)] → ◊∃x□[∃y(y=x) ∧ Mx] y por lo tanto ◊∃x□[∃y(y=x) ∧ Mx] ≡ □∃x□[Mx ∧ ∃y(y=x)] y por lo tanto □(◊∃x□[∃y(y=x) ∧ Mx] ≡ □∃x□[Mx ∧ ∃y(y= X)])

(V) Además, parece que ∃x□[∃y(y=x) ∧ Mx] → □∃x□[∃y(y=x) ∧ Mx] por un argumento similar al anterior. Considere ∃x□[∃y(y=x) ∧ Mx] en @ y por EI □[∃y(y=a) ∧ Ma] en @ y por el axioma S4, □□[∃y(y=x) ∧ Mx] en @ y por tanto para cualquier mundo arbitrario w , □[∃y(y=x) ∧ Mx] y por EG, ∃x□[Mx ∧ ∃y(y=x)] en cualquier mundo w , de modo que □∃x□[Mx ∧ ∃y(y=x)].

También podemos ver esto por cuadros.

Además, parece que □(∃x□[∃y(y=x) ∧ Mx] → □∃x□[∃y(y=x) ∧ Mx]) que es esencialmente la "premisa anselmiana". Una vez más, la negación de la implicación produce una contradicción en el cuadro. Pues supongamos que no fuera el caso; entonces ◊¬(∃x□[∃y(y=x) ∧ Mx] → □∃x□[∃y(y=x) ∧ Mx]) por lo tanto en algún w1 ∃x□[∃y(y=x) ∧ Mx] y ◊¬∃x□[Mx ∧ ∃y(y=x)]. Por esto último, existe algo de w2 por el cual ¬∃x□[Mx ∧ ∃y(y=x)]. Dado ∃x□[∃y(y=x) ∧ Mx] en w1 , use EI para obtener □[∃y(y=a) ∧ Ma] y luego el axioma S4 para obtener □□[∃y(y=a ) ∧ Ma] y por lo tanto □[∃y(y=a) ∧ Ma] en w2 . Por EG, ∃x□[∃y(y=x) ∧ Mx] se mantiene en w2, contradiciendo ¬∃x□[Mx ∧ ∃y(y=x)]. También debe quedar claro que □∃x□[∃y(y=x) ∧ Mx] → ∃x□[∃y(y=x) ∧ Mx] y por lo tanto ∃x□[∃y(y=x) ∧ Mx] ≡ □∃x□[∃y(y=x) ∧ Mx] y por lo tanto, □(∃x□[∃y(y=x) ∧ Mx] ≡ □∃x□[∃y(y=x) ∧ Mx]).

(VI) Dadas las equivalencias y cuadros anteriores, debería ser que □(◊∃x□[∃y(y=x) ∧ Mx] ≡ ∃x□[∃y(y=x) ∧ Mx] ≡ □∃x □[∃y(y=x) ∧ Mx]). Pero también debe seguirse con los mismos argumentos y cuadros que □(□¬∃x□[∃y(y=x) ∧ Mx] ≡ ¬∃x□[∃y(y=x) ∧ Mx] ≡ ◊¬∃ x□[∃y(y=x) ∧ Mx]). Considere para el ejemplo el siguiente cuadro, que es esencialmente el segundo que publiqué aquí. Supongo que esto corresponde al argumento "anti"-ontológico modal.

(VI) O más aún, parece que cualquiera de ◊∃x□[∃y(y=x) ∧ Mx] ≡ ∃x□[∃y(y=x) ∧ Mx] ≡ □∃x□[∃y (y=x) ∧ Mx] debería implicar □∃x□Mx pero no viceversa. Entonces, ◊¬∃x□Mx debería implicar la falsedad de cualquiera de los tres. Considere ◊¬∃x□Mx → ¬◊∃x□[∃y(y=x) ∧ Mx]. Supongamos que fuera falso y por lo tanto ◊¬∃x□Mx y ◊∃x□[∃y(y=x) ∧ Mx]. Entonces, dado lo anterior, en algún w1 , ¬∃x□Mx. Dado ◊∃x□[∃y(y=x) ∧ Mx] entonces hay un w2 en el que ∃x□[∃y(y=x) ∧ Mx]. Por EI, □[∃y(y=a) ∧ Ma] en w2 y luego por el axioma S4, □□[∃y(y=a) ∧ Ma] y por lo tanto □[∃y(y=a) ∧ Ma ] en w1 , y por lo tanto □Ma y □∃y(y=a) tales que □Ma y E!a se mantienen en w1 . Por EG por lo tanto, ∃x□Mx en w1 , contradiciendo ¬∃x□Mx.

(VII) ¿Podemos también ejecutar el argumento simplemente tomando 'g' como un nombre propio para Dios y afirmando ◊□[∃x(x=g) ∧ Mg] con consecuencias similares a las anteriores?

(VIII) ¿Cómo procederían estos argumentos si consideráramos VS5 con identidad contingente en su lugar? No parece que ninguno de mis argumentos semánticos se vea afectado, ya que no apelan a la necesidad de identidad, solo EI y EG. Pero parece que algunas de las ramas de los cuadros, en particular las ramas izquierdas de la segunda y tercera ramas, se verían afectadas por la identidad contingente. ¿Cómo percibe el desarrollo del argumento, si es que le da una identidad contingente?