¿Luz parcialmente polarizada con vectores jones?

Su método propuesto funcionaría siempre que solo pase la luz a través de componentes ópticos lineales que no cambien el grado de polarización de la luz o la potencia general, en cuyo caso estaría usando el cálculo de Jones disfrazado: puede mantener los componentes polarizados y despolarizados separado.

Pero el método no funcionará en general. Sin embargo, aún puede usar las matrices de Jones para representar componentes ópticos, pero las aplica de una manera nueva.

La polarización parcial es algo muy difícil de describir clásicamente: es casi lo mismo (y tan difícil) como la discusión clásica de la coherencia parcial y uno necesita tener una comprensión completa de los procesos aleatorios para discutirla completamente. Born y Wolf dedican todo un capítulo a estos conceptos. Pero está muy elegantemente descrito en la imagen cuántica: la luz parcialmente polarizada es una mezcla estadística de estados cuánticos puros. Discuto ambos enfoques en mi respuesta aquí .

Entonces, primero debe leer sobre la matriz de densidad (consulte el artículo de Wikipedia con este nombre) . El nombre "matriz" es un poco engañoso, porque en realidad es un "estado" (aunque mixto) escrito como un$N\times N$matriz (donde$N$es la dimensionalidad de los estados cuánticos con los que está tratando) y NO una "transformación" u "operador" en los estados, como implicaría el nombre "matriz". Está escrito como una matriz porque esta es la forma más conveniente de sacar estadísticas: el$n^{th}$momento de una medida por un observable$\hat{A}$se calcula como${\rm Tr}(\rho \hat{A}^n)$dónde$\rho$es la matriz de densidad que representa el estado mixto. Entonces, si el estado de luz es una mezcla estadística clásica de estados de polarización con$2\times 1$jones vectores$\vec{x}_1, \vec{x}_2, \cdots$siendo las probabilidades clásicas de cada estado$p_1,p_2,\cdots$, entonces la matriz densidad es:

(tenga en cuenta el orden:$\vec{x}_j \vec{x}_j^\dagger$es un$2\times2$matriz de proyección). Se ve fácilmente que tales matrices son hermitianas ( es decir, $\rho = \rho^\dagger$)

Entonces nuestro$2\times 2$El estado de luz cuántica mixta ahora se representa como un general$2\times2$Hermitiano ( es decir $H = H^\dagger$) matriz:

dónde$\sigma_0 = {\rm id}$es el$2\times 2$matriz de identidad y$\sigma_j$son las matrices de espín de Pauli. los coeficientes$s_j$no son más que el vector de Stokes. Cualquier$2\times2$La matriz hermítica se puede escribir así.

Ahora, si la luz pasa a través de un componente sin pérdidas, de modo que su matriz de Jones$U$es unitario$U U^\dagger = U^\dagger U = {\rm id}$, entonces la matriz de densidad se convierte en:

y la longitud de la parte "polarizada" de la luz$(s_1, s_2, s_3)$no cambia.$s_0$por un lado y$(s_1, s_2, s_3)$por otro, manténgase separado y no se mezcle. La matriz unitaria codifica el$(s_1, s_2, s_3)$pero deja su suma de cuadrados constante y, de hecho, si nos fijamos sólo en el$(s_1, s_2, s_3)$estamos presenciando el grupo$SU(2)$de matrices de Jones unitarias que actúan sobre el álgebra de Lie tridimensional$i\sigma_1, \sigma_2, \sigma_3)$de$SU(2)$a través de la representación adjunta $SO(3)$de$SU(2)$- en el lenguaje cotidiano estamos viendo rotaciones de la esfera de Poincaré .

Sin embargo, si nuestro componente óptico no es sin pérdidas, entonces la transformación$U$es simplemente un general$2\times2$matriz hermitiana y la$s_0$y$(s_1, s_2, s_3)$se mezclan en una transformación lineal más general. Puede, si lo desea, seguir usando sus matrices de Jones, pero debe usarlas no actuando sobre un estado, sino actuando sobre la matriz de densidad: es decir, en lugar de su estado puro$x$transformándose como$x\mapsto U x$, su matriz de densidad se transforma por un llamado mapa de spinor$\rho\mapsto U \rho U^\dagger$.

Otra forma de hacer esto es simplemente notar que en el mapa$\rho\mapsto U \rho U^\dagger$, los cuatro parámetros$(s_0,s_1, s_2, s_3)$que definen la matriz de densidad sufren transformaciones lineales. Entonces, en lugar de mapas de spinor, podemos usar un$4\times4$matriz para representar un componente óptico general. Esto, por supuesto, es la matriz de Mueller. Para un componente óptico con matriz de Jones no unitaria general$U$, los elementos correspondientes de la matriz de Mueller$M$son:

La matriz de Mueller actúa sobre vectores en el espacio lineal de$2\times2$Matrices hermitianas pensadas como un espacio vectorial sobre$\mathbb{R}$. Este espacio viene con un producto interno para encontrar componentes de "vectores" de la forma Killing$\left<A,B\right> = {\rm Tr}(A^\dagger B) = {\rm Tr}(A B)$, que es como escribí la expresión de arriba hacia abajo. El vector de Stokes es simplemente la matriz de densidad que vive en este espacio pero escrita como$4\times 1$columna de valor real y la matriz de Mueller implementa el mapa de espinor lineal en la matriz de densidad reescrita.

De manera más general, el cálculo de Mueller es simplemente otra forma de calcular las transformaciones realizadas en una matriz de densidad para cualquier sistema cuántico de dimensión finita mediante varias operaciones, que pueden incluir operadores unitarios o conversiones tipo Wigner-Friend de estados puros a estados mixtos . Cada$N$sistema cuántico dimensional implica un$N^2 \times N^2$cálculo dimensional de Mueller cuando las matrices de densidad se escriben como columnas. Aquí los "vectores base" son las matrices$\left|\left.x_j\right.\right>\left<\left.x_k\right.\right|$dónde$x_j$son los estados puros cuánticos básicos. El$N^2 \times N^2$La matriz de Mueller opera sobre el vector de coeficientes$\rho_{j,k}$en la matriz de densidad$\sum\limits_j\sum\limits_k \rho_{j,k}\left|\left.x_j\right.\right>\left<\left.x_k\right.\right|$.

Nota al pie: como ha señalado Trimok (gracias Trimok), la numeración estándar de las matrices de Pauli da un reordenamiento de los parámetros de Stokes del OP:

... con las convenciones OP, tienes la correspondencia$s_1 \to s_z, s_2 \to s_x, s_3 \to s_y$con$\rho = s_0\sigma_0 + s_x \sigma_x +s_y \sigma_y +s_z\sigma_z$