¿Cómo encontrar componentes de 4 velocidades en una métrica perturbada?

Question

¿Cómo encontrar componentes de 4 velocidades en una métrica perturbada?

Beto

Comenzando con una métrica con pequeñas perturbaciones

\begin{array}{rcl} {gramo}_{00} & = & 1 - 2 \frac{tu}{C^{2}} + O (C^{- 4}) \\ {gramo}_{0 i} & = & O (C^{- 3}) \\ {gramo}_{i j} & = & - d_{i j} (1 + 2 \frac{tu}{C^{2}} + O (C^{- 4})) \end{array}

$\begin{eqnarray} g_{00} &=& 1-2\frac{U}{c^2} + \mathcal{O}(c^{-4}) \\ g_{0i} &=& \mathcal{O}(c^{-3}) \\ g_{ij} &=& -\delta_{ij}\left(1+2\frac{U}{c^2} + \mathcal{O}(c^{-4})\right) \end{eqnarray}$

Estoy tratando de mostrar que las componentes del vector de 4 velocidades $u^0$ y $u^i$ Se puede escribir como

\begin{array}{rcl} {tu}^{0} & = & 1 + \frac{1}{2} \frac{v^{2}}{C^{2}} + \frac{tu}{C^{2}} + O (C^{- 4}) \\ {tu}^{i} & = & \frac{v^{i}}{C} (1 + \frac{1}{2} \frac{v^{2}}{C^{2}} + \frac{tu}{C^{2}}) + O (C^{- 5}) \end{array}

$\begin{eqnarray} u^0 &=& 1 + \frac{1}{2}\frac{v^2}{c^2} + \frac{U}{c^2} + \mathcal{O}(c^{-4}) \\ u^i &=& \frac{v^i}{c}\left(1 + \frac{1}{2}\frac{v^2}{c^2} + \frac{U}{c^2}\right) + \mathcal{O}(c^{-5}) \end{eqnarray}$

Quiero mantener explícitamente los poderes de $c$ en el cálculo para ayudar a conocer los diferentes órdenes de pequeñez en PPN. El método que estoy tratando de usar es escribir $u^\mu u_\mu = u^0 u_0 + u^i u_i = +1$ . Esto se puede reorganizar como

\begin{array}{rcl} {tu}^{0} {tu}^{0} {gramo}_{00} & = & 1 - {tu}^{i} {tu}^{j} {gramo}_{i j} - 2 {tu}^{0} {tu}^{i} {gramo}_{0 i} \\ {({tu}^{0})}^{2} [1 - 2 \frac{tu}{C^{2}}] & = & 1 + {(\frac{d X^{i}}{d s})}^{2} [1 + 2 \frac{tu}{C^{2}}] \end{array}

$\begin{eqnarray} u^0 u^0 g_{00} &=& 1 - u^i u^j g_{ij} - 2u^0 u^i g_{0i} \\ \left(u^0\right)^2 \left[ 1-2\frac{U}{c^2}\right] &=& 1 + \left(\frac{dx^i}{ds}\right)^2\left[ 1+2\frac{U}{c^2} \right] \end{eqnarray}$ dejé caer el

g_{0 i}

$g_{0i}$ término porque es

O (c^{- 3})

$\mathcal{O}(c^{-3})$ . Descubrí que si escribo

\frac{d x^{i}}{d s} = \frac{1}{c} \frac{d x^{i}}{d t} \frac{d t}{d s} = \frac{v}{c}

$\frac{dx^i}{ds} = \frac{1}{c}\frac{dx^i}{dt}\frac{dt}{ds} = \frac{v}{c}$ , resuelve la ecuación anterior para

u^{0} = \sqrt{\frac{. . .}{. . .}}

$u^0 = \sqrt\frac{...}{...}$ , y luego Taylor expande sobre los términos pequeños

{(\frac{v}{c})}^{2}

$\left(\frac{v}{c}\right)^2$ y

\frac{U}{c^{2}}

$\frac{U}{c^2}$ , obtengo la forma correcta de

u^{0}

$u^0$ .

Mis preguntas son:

¿Es este el mejor enfoque para resolver $u^0$ y $u^i$ , ¿o hay un método mejor/más recomendado para usar?
No entiendo si o por qué es correcto escribir $\left(\frac{dx^i}{ds}\right)^2 = \left(\frac{v}{c}\right)^2$ . El término $\frac{dx^i}{ds}$ no debe tener unidades (como $\frac{v}{c}$ ), pero cuando uso la regla de la cadena para expandir $\frac{dx^i}{ds}$ , ¿no debería haber un factor de c al lado de dt en el numerador de arriba también? ¿Podría tener algo que ver con pensar en ds como tiempo propio y luego escribir $dt\approx ds$ para objetos de movimiento lento?
Además, leí que los componentes métricos de $g_{0i}$ tendrá extraños poderes de $c^{-1}$ , mientras que los componentes métricos de $g_{00}$ y $g_{ij}$ tendrá incluso poderes de $c^{-1}$ , pero nunca he visto una justificación para esa afirmación.
En última instancia, mi objetivo es comprender el formalismo PPN. ¿Hay algún libro de texto o artículo en el que el autor trabaje expandiendo una métrica perturbada mientras mantiene los factores de $c^{-1}$ explícitamente en el cálculo para mostrar diferentes órdenes de los términos pequeños (por ejemplo, no establece $c=1$ )? Hasta ahora, el informe que vinculé a continuación es el único documento que he visto que no funciona en unidades donde $c=1$ .

Mi pregunta es acerca de cómo llegar a la ec. (15) en este enlace (el enlace descargará automáticamente un pdf del trabajo).

Si no desea hacer clic en un enlace que descarga automáticamente un artículo, el título del artículo es "El formalismo posnewtoniano" de Rene Michelsen.

Rumplestillskin

¿Es útil expresar las cuatro velocidades como

u^{β} = g^{β α} u_{α}

$u^\beta = g^{\beta \alpha} u_{\alpha}$ ?

Beto

He estado usando esa relación para hacer que todas las 4 velocidades sean contravariantes (por ejemplo, todas tienen índices superiores). Todavía no he intentado hacer covariantes de 4 velocidades (tienen índices más bajos), lo que puedo intentar a continuación, pero no es obvio para mí si eso ayudará o no. Algo relacionado, este método aún no ha funcionado para

u^{i}

$u^i$ , ya que Taylor expande un término

\propto \sqrt{\frac{v}{c}}

$\propto\sqrt\frac{v}{c}$ da infinito en el orden más bajo (distinto de cero).

qmecanico

Septiembre de 2021: Enlace ahora muerto.

Respuestas (1)

¿Cómo encontrar componentes de 4 velocidades en una métrica perturbada?

¿Es útil expresar las cuatro velocidades como $u^\beta = g^{\beta \alpha} u_{\alpha}$ ?
He estado usando esa relación para hacer que todas las 4 velocidades sean contravariantes (por ejemplo, todas tienen índices superiores). Todavía no he intentado hacer covariantes de 4 velocidades (tienen índices más bajos), lo que puedo intentar a continuación, pero no es obvio para mí si eso ayudará o no. Algo relacionado, este método aún no ha funcionado para $u^i$ , ya que Taylor expande un término $\propto\sqrt\frac{v}{c}$ da infinito en el orden más bajo (distinto de cero).

Rumplestillskin · Answer 1

Expresar cuatro velocidades $u^\alpha$ y coordenadas de velocidad $v^i$ de acuerdo a

{tu}^{α} = \frac{d X^{α}}{d τ}, v^{i} = \frac{d X^{i}}{d t},

$u^\alpha = \frac{dx^\alpha}{d\tau}, \quad v^i = \frac{dx^i}{dt},$

donde el tiempo propio y el tiempo coordinado están dados por $\tau$ y $t$ respectivamente. En adelante, latín ( $i,j = 1,2,3$ ) y griego ( $\alpha,\beta = 0,1,2,3$ ) los índices dan cuenta de las variables espaciales y espaciotemporales, respectivamente.

responderé tu pregunta $(1)$ en términos de componentes de tensores métricos arbitrarios, donde describiré el procedimiento que debe seguir para obtener los resultados deseados.

Una partícula temporal obedece a la condición de normalización dada por

\begin{matrix} (1) & {gramo}_{α β} {tu}^{α} {tu}^{β} = - C^{2}, \end{matrix}

$g_{\alpha \beta} u^\alpha u^\beta = -c^2, \tag{1} \label{eqn1}$

dónde $c$ es la velocidad de la luz. ecuación ( $\ref{eqn1}$ ) está dada explícitamente por

\begin{matrix} (2) & {({tu}^{0})}^{2} ({gramo}_{00} + 2 {gramo}_{0 i} \frac{{tu}^{i}}{{tu}^{0}} + {gramo}_{i j} \frac{{tu}^{i}}{{tu}^{0}} \frac{{tu}^{j}}{{tu}^{0}}) = - C^{2} . \end{matrix}

$\left( u^0 \right)^2 \left( g_{00} + 2 g_{0i} \frac{u^i}{u^0} + g_{ij} \frac{u^i}{u^0} \frac{u^j}{u^0} \right) = -c^2. \tag{2} \label{eqn2}$

Ahora sabemos $x^0 = ct$ . Por eso $d x^0 = cdt.$ Usando esto podemos expresar $u^i/u^0$ como el seguiente

\begin{matrix} (3) & \frac{{tu}^{i}}{{tu}^{0}} = \frac{d X^{i}}{d τ} {(\frac{d X^{0}}{d τ})}^{- 1} = \frac{d X^{i}}{d t} \frac{d t}{d τ} {(\frac{d X^{0}}{d t} \frac{d t}{d τ})}^{- 1} = \frac{v^{i}}{C} . \end{matrix}

$\frac{u^i}{u^0} = \frac{dx^i}{d\tau} \left(\frac{d x^0}{d\tau} \right)^{-1} = \frac{dx^i}{dt} \frac{dt}{d\tau} \left( \frac{dx^0}{dt} \frac{dt}{d\tau} \right)^{-1} = \frac{v^i}{c}. \tag{3} \label{eqn3}$

( Nota: espero que eso aborde su confusión con respecto a la pregunta $2$ . ) Volviendo a la Ec. ( $\ref{eqn2}$ ) tenemos

{tu}^{0} = C {[- {gramo}_{00} - 2 {gramo}_{0 i} (\frac{v^{i}}{C}) - {gramo}_{i j} (\frac{v^{i}}{C}) (\frac{v^{j}}{C})]}^{- 1 / 2} .

$u^0 = c \left[ - g_{00} - 2g_{0i} \left( \frac{v^i}{c} \right) - g_{ij} \left(\frac{v^i}{c}\right) \left( \frac{v^j}{c} \right) \right]^{-1/2}.$

Sustituyendo los componentes del tensor métrico apropiado y expandiendo la raíz cuadrada al orden PN dará el deseado $u^0$ . Ecuación de consultoría ( $\ref{eqn3}$ ) da la expresión apropiada para la parte espacial de la velocidad de cuatro a saber

{tu}^{i} = \frac{v^{i}}{C} {tu}^{0} .

$u^i = \frac{v^i}{c} u^0.$

Entonces para responder a tu pregunta $(1)$ , consultaría la condición de normalización para obtener fácilmente los componentes de $u^\alpha$ . Siguiendo el método descrito anteriormente, obtendrá las expresiones que ha citado para $u^0$ y $u^i$ .

Debo señalar que existe una gran diferencia entre los formalismos post-newtonianos y post-newtonianos parametrizados con los que le aconsejo que se familiarice. Supongo que quiere decir que quiere entender el formalismo PN en su pregunta $(4)$ . Los trabajos de Chandrasekhar sobre el formalismo PN generalmente conservan el factor de $1/c$ por conveniencia. Sin embargo, debe saber que esto es simplemente una cuestión de determinar correctamente las dimensiones adecuadas y restablecerlas. Ser capaz de hacer esto es más beneficioso a largo plazo.

Gracias por la respuesta. Con respecto a la pregunta (4), quiero decir que quiero trabajar con el formalismo PPN. Tengo una ecuación de movimiento que se reduce a la EFE sin rastro en el orden más bajo y tiene un campo escalar, pero quiero saber si se descarta en el primer orden en los parámetros PPN.
Si su eq. (1) leer $g_{\mu\nu}u^\mu u^\nu = +1$ ya que (i) la firma métrica del espacio-tiempo es (+,-,-,-) y (ii) estamos normalizando las 4 velocidades?
@Bob si le preocupa el formalismo PPN, ¿no debería haber parámetros? $\alpha,\beta$ en sus componentes métricos? Vuelvo a recalcar que los formalismos PN y PPN son animales diferentes.
@Bob, el signo cambiará según su firma. Sin embargo, pensé que querías retener $c$ ¿explícitamente?

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