Mi pregunta se refiere a la sección X del libro 1 de los Principia de Isaac Newton, que trata sobre el movimiento de partículas en superficies curvas. Leí que en la proposición 56 Newton encontró la trayectoria de una partícula sobre una superficie curva en el caso en que el centro de la fuerza centrípeta se encuentra en el eje de la superficie. Esta proposición dice así:
"Concediendo la cuadratura de las figuras curvilíneas, y tanto la ley de la fuerza centrípeta hacia un centro dado como una superficie curva cuyo eje pasa por ese centro, para encontrar la trayectoria que describirá un cuerpo sobre esa superficie, dada su posición y velocidad iniciales".
Al tomar el centro de la fuerza centrípeta como a una distancia infinita (en el eje, por supuesto), se obtiene un campo de gravedad uniforme. Este es un punto muy interesante sobre el que encontré poco material, ya que determinar el movimiento de una partícula en una superficie curva implica complicaciones y creo que incluso tiene que ver con las geodésicas en la superficie curva.
Hago esta pregunta porque no pude encontrar material sobre esta proposición, por lo que si alguien conoce una buena referencia que analice este punto, estaré encantado de leerla.
Estás en algo aquí. La Sección X del Libro 1 de Principia analiza el movimiento de partículas restringidas a curvas o superficies bajo la acción de fuerzas centrales (es decir, fuerzas dirigidas hacia un punto fijo, el centro, cuya magnitud depende únicamente de la distancia a él). Este es un ejemplo de dinámica restringida, ahora asociada con el principio de trabajo virtual de "D'Alembert" (formulado por John Bernoulli, ver Glimpse at the Eighteenth Century de Maugin ), y si tomamos el caso especial de fuerza central cero, las trayectorias serán de hecho ser las geodésicas en la superficie. Llevar el centro al infinito mientras se incrementa la intensidad puede producir el campo de fuerza constante en el límite, Newton considera este caso más simple para curvas pero no para superficies.
Traduzcamos la Proposición 56 a términos modernos. "Fuerza centrípeta hacia un centro dado" es una fuerza central, "superficie curva cuyo eje pasa por ese centro" es una superficie de revolución cuyo eje pasa por el centro de fuerza, y "concediendo la cuadratura de figuras curvilíneas" significa que Newton es contenido para reducir los problemas a encontrar áreas de regiones curvas, a cuadraturas. Así, la proposición dice que el problema de valor inicial para el movimiento sobre una superficie de revolución bajo la acción de una fuerza central se reduce a cuadratura. La prueba se basa en la Proposición 55 anterior, donde Newton demuestra que si la trayectoria de las partículas en la superficie se proyecta en un plano perpendicular al eje, su radio-vector barrerá áreas iguales en tiempos iguales.a fuerzas y movimientos centrales arbitrarios restringidos a superficies de revolución en lugar de solo planos. En términos de cálculo, esto da una primera integral de movimiento , que explica la reducción a cuadratura.
El problema geodésico es un caso particular del de Newton. Esto no es exactamente "resolverlo" (como lo fue encontrar elipses, parábolas e hipérbolas para la ley del cuadrado inverso), pero aún así. Struik da una historia temprana de las geodésicas en sus Conferencias sobre geometría diferencial clásica (4-2) sin mencionar a Newton y Principia, incluso cuando afirma que el problema geodésico en una superficie de revolución se reduce a la cuadratura:
"La historia de las líneas geodésicas comienza con la solución de John Bernoulli al problema de la distancia más corta entre dos puntos en una superficie convexa (1697-1698). Su respuesta fue que el plano osculador ("el plano que pasa por tres puntos `quolibet proxima"') debe ser siempre perpendicular al plano tangente. Para más información, véase P. Stackel, Bemerkungen zur Geschichte der geodatischen Linien, Berichte sachs. Akád. Wiss., Leipzig, 45, 1893, págs. 444-467. El nombre "línea geodésica" en su significado actual se debe, según Stackel, a J. Liouville, Journal de mat hem. 9, 1844, pág. 401; la ecuación de las geodésicas fue obtenida por primera vez por Euler en su artículo De linea brevissima in superficie quacumque duo quaelibet puncta jungente, Comentario. Academia Petropol. 3 (ad annum 1728), 1732; Euler'"
Las proposiciones anteriores de la Sección X sobre el movimiento restringido a las curvas también son de interés. Las proposiciones 50-53 tratan del movimiento restringido a una cicloide y arrojan nueva luz sobre su famosa relación con los relojes de péndulo descubierta por Huygens . Esto se discute en detalle en Huygens and Newton on Curvature and its application to Dynamics de Nauenberg :
" La pregunta se refiere a la razón subyacente de la propiedad isócrona de las oscilaciones de un cuerpo que se mueve en una trayectoria cicloidal bajo la acción de la fuerza de gravedad constante. Descubrieron que la componente de la fuerza de gravedad tangente a una trayectoria cicloidal es proporcional a la distancia a lo largo de este camino. Este resultado implica que otros sistemas físicos donde la fuerza es lineal con la distancia conduce a oscilaciones isócronas o armónicas. El ejemplo más conocido es la fuerza restauradora de un resorte " .
Puede encontrar de interés los Principios de Newton para el lector común de Chandrasekhar . Traduce sistemáticamente el Euclides de Newton al cálculo moderno, sección por sección, y los comenta, pero omite notablemente la Sección X. Second Year Calculus: From Celestial Mechanics to Special Relativity de Bressoud trata de la segunda ley de Kepler para la gravedad tanto en el sistema de Newton como en el de Newton. notación de cálculo.
usuario2554