¿Todas las formas de "carga" de Lorentz son invariantes?

No del todo pero casi. Hay algunos cargos Noether no escalares, como

1. El momento lineal,$P^\mu$, que genera traducciones,
2. El momento angular,$J^{\mu\nu}$, que genera transformaciones de Lorentz,
3. El generador de transformaciones conformes especiales$K^\mu$.

Por supuesto, las dos primeras solo existen en las teorías invariantes de Poincaré, lo que obviamente suponemos que es el caso. La tercera carga solo existe en teorías conformemente invariantes.

Ahora nos hacemos la siguiente pregunta: ¿existe alguna otra carga de Noether que tenga uno o más índices de Lorentz? o el resto son necesariamente escalares?

La respuesta es realmente muy interesante: bajo varias suposiciones bastante generales, podemos probar que la respuesta es: todas las demás cargas de Noether son necesariamente escalares. Este teorema se conoce como el teorema de Coleman-Mandula, y puede encontrar una prueba muy detallada y rigurosa (hasta los estándares de los físicos) en el libro de Weinberg sobre QFT (tercer volumen). Algunas de las hipótesis de este teorema son:

• Las cargas de Noether son bosónicas. Si descartamos esta condición, podemos tener cargas no escalares, pero su forma está restringida por un teorema debido a Haag, Łopuszański y Sohnius (cf. aquí ).

• La teoría no tiene partículas sin masa (y, por lo tanto, las CFT están fuera de discusión). Si esta hipótesis puede ser levantada ha estado bajo investigación en los últimos años, y hasta donde yo sé, no se ha llegado a un consenso (se podría argumentar, ¿qué queremos decir con el$S$matriz en una teoría con partículas sin masa?).

• La dispersión no es trivial. Por lo tanto, no aprendemos nada acerca de las teorías libres de este teorema. De hecho, es bastante fácil construir cargas de Noether no escalares cuando la teoría es libre.

• Algunas otras suposiciones técnicas (pero naturales), que no son importantes aquí.

El mensaje final es: bajo las hipótesis consideradas por Coleman y Mandula, todos los cargos de Noether son$P^\mu,J^{\mu\nu}$o escalares de Lorentz: no tienen índice de Lorentz y, por lo tanto, son independientes del marco de referencia.

En el espíritu de la pregunta citada en su pregunta, puede pensar de la siguiente manera.

Supongamos que la acción (clásica) es invariante bajo algunos campos y transformación de coordenadas. Corriente Noether correspondiente$J^{\mu...}$es un objeto con el número de índices de Lorentz determinados por la transformación. Por ejemplo, para las transformaciones globales y de calibre, que es la transformación de campos, lleva 1 índice de Lorentz, para las transformaciones de grupo de Lorentz, que mezclan campos y transformaciones espaciales, lleva 3 índices de Lorentz, para las transformaciones de grupo de traducción, que es de coordenadas transformación, lleva 2 índices.

Dado que la corriente conservada$J^{\mu...}$satisface la relación

$$\tag 1 \partial_{\mu}J^{\mu...} = 0,$$ se puede construir la carga covariante de lorentz conservada $$\tag 2 Q_{...} = \int \limits_{\Sigma} d\Sigma^{\mu}J_{\mu ...},$$ dónde $\Sigma_{\mu}$es la 4-hipersuperficie. Por la ley de conservación $(1)$se puede demostrar que $(2)$es independiente de la elección precisa de la hipersuperficie $\Sigma_{\mu}$. Por lo tanto, podemos elegir una hipersuperficie similar al tiempo, para la cual $$Q_{...} = \int d^{3}\mathbf r J_{0...}$$ Para sus ejemplos (correspondientes a la interna $SU(N)$simetrías) la corriente $J_{\mu...}$lleva un índice de Lorentz y, por lo tanto, los cargos correspondientes son escalares de Lorentz.