¿Cómo interactúan las ecuaciones de campo de Einstein con la ecuación geodésica?

Las ecuaciones de campo de Einstein parecen muy no lineales de derivadas de segundo orden. Al expresar LHS de las ecuaciones de campo de Einstein en tensor y derivadas puramente métricas, consiste en cierto modo en derivadas de segundo orden del tensor métrico. RHS, por supuesto, contiene tensor de energía de estrés.

Esto parece significar que al calcular el tensor métrico en algún espacio-tiempo, también depende del tensor métrico futuro (en ese punto del espacio-tiempo y los puntos circundantes).

Pero la ecuación geodésica necesita un tensor métrico para derivar la ruta de acción mínima para campos/partículas de materia.

  1. La primera pregunta: Entonces, al calcular el tensor métrico, ¿se combinan las ecuaciones de campo de Einstein y las ecuaciones geodésicas para el cálculo?

  2. La segunda pregunta: supongamos que deseamos calcular el tensor métrico en algún espacio-tiempo dado. Solo se da la forma del tensor tensión-energía. ¿Necesitamos la forma completa del tensor de tensión-energía en cada espacio-tiempo para calcular el tensor métrico en algún espacio-tiempo dado, o podemos localizar el tensor de tensión-energía y usar solo esa información?

Respuestas (1)

EFE y ecuaciones geodésicas

Para responder a la primera pregunta, la única información necesaria para plantear y resolver las ecuaciones geodésicas es el tensor métrico, gramo m v . Así, si gramo m v se desconoce, hay que resolver,

R m v − 1 2 gramo m v R = 8 π T m v

y luego resolver las ecuaciones geodésicas. No veo cómo se podría pensar que están acoplados de alguna manera y deben resolverse juntos, ya que las soluciones de la ecuación geodésica son geodésicas que no entran en las ecuaciones de campo de Einstein.

Tensores de tensión-energía localizados

En cuanto a la segunda pregunta, es suficiente saber T m v decir en alguna región Σ ⊂ METRO del espacio-tiempo y se pueden resolver las ecuaciones de campo de Einstein para conocer la forma de la métrica en esta región .

Esto se hace todo el tiempo; uno puede considerar algún caparazón con una energía de tensión superficial, y considerar la forma de espacio-tiempo dentro y fuera del caparazón, dos regiones separadas.

Si conocemos la métrica solo en alguna región del espacio-tiempo, debido al hecho de que solo conocemos la energía de tensión para una región en particular, entonces no podemos hacer ninguna inferencia sobre cómo se comporta en el exterior. Sin embargo, existen fuertes restricciones sobre cómo se comporta la métrica en el límite de dos regiones descritas por diferentes tensores de tensión-energía.

Entre ellos está la condición de unión de Israel, que relaciona el salto en la curvatura extrínseca en ambos lados con una energía de tensión en el límite entre ambas regiones.

Más recursos

Para obtener más información sobre la condición de unión y los tensores métricos localizados en una región particular del espacio-tiempo, consulte Hipersuperficies singulares y capas delgadas en relatividad general .

Para un recurso pedagógico, consulte la sección 32 de Gravitation de Misner, Thorne y Wheeler sobre el colapso de las estrellas, así como Brane-Localised Gravity de Mannheim.

¿Las geodésicas entran en la EFE a través de la evolución de T m v ? ¿De qué otra manera sabríamos el valor de T m v en momentos posteriores? Si se rige por las geodésicas, entonces las ecuaciones geodésicas estarían acopladas a la EFE.
@ jnez71 Entonces, tiene un sistema con algunos T m v , y luego el asunto sigue a las geodésicas. Pero luego, debido a que se movió, no tienes el mismo T m v lo que significa diferente gramo m v y por lo tanto diferentes geodésicas, y así sucesivamente. En la práctica, estamos agradecidos si podemos resolver la métrica analítica o numéricamente. Si queremos modelar completamente la evolución de un sistema en relatividad general, recurrimos a la simulación numérica, y eso es todo un campo.
Gracias por su respuesta rápida. ¡Eso tiene sentido para mí! Pero se siente en conflicto con su declaración de que las ecuaciones geodésicas no están acopladas a la EFE. Parece todo lo contrario, ya que como explicas, las geodésicas gobiernan la evolución de T m v , es decir, la RHS de la EFE. Tal vez estoy malinterpretando algo sobre su respuesta al OP.
@ jnez71 Están acoplados, pero no de una manera que le permita, en principio, resolverlos como un conjunto acoplado de ecuaciones diferenciales. Sí, gramo m v y sus derivadas aparecen en el EFE y la ecuación geodésica (a través de los símbolos de Christoffel). Sin embargo, no existe un término que tenga en cuenta el cambio a T m v dado el movimiento geodésico, y no hay nada en la ecuación geodésica que tenga en cuenta T m v , es puramente geométrico.
@ jnez71 Si quiere aprender relatividad numérica, lea el libro de Shapiro, pero tenga en cuenta que tiene que pasar por mucha gimnasia con las ecuaciones de GR antes de poder acercarse a intentar resolver las cosas numéricamente. Una gran parte del libro está dedicada simplemente a poner todo en una forma en la que puedas empezar a pensar cómo discretizar.
Ya veo, gracias por la información. Maldita sea GR parece retorcido jaja
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