¿Cómo implica la simetría de calibre no abeliana la cuantificación de las cargas correspondientes?

En primer lugar, tenga en cuenta que el verdadero grupo Abelian Lie $U(1)$viene en dos versiones (escritas multiplicativamente):

1. Compacto$U(1)~\cong~e^{i\mathbb{R}}~\cong~S^1$, y

2. no compacto$U(1)$ $~\cong~e^{\mathbb{R}}\cong~\mathbb{R}_+\backslash\{0\}$.

También tenga en cuenta que en la literatura de física, a menudo identificamos operadores de carga con generadores de álgebra de Lie para una subálgebra de Cartan (CSA) del álgebra de Lie de calibre .

Además, tenga en cuenta que la elección de los generadores CSA no es única, consulte también esta respuesta . La ambigüedad en la elección de la convención de los operadores de carga es similar a la ambigüedad en la elección de la convención de los operadores de espín, véase también esta pregunta . De ahora en adelante supondremos que nos atenemos consistentemente a una sola convención posible.

Dada una representación de álgebra de Lie , los valores propios del operador de carga se denominan cargas.

Ahora permítanos esbozar brevemente algunas tradiciones y hechos relacionados con la pregunta de OP (v2).

1. Observamos en Nature que las cargas abelianas y no abelianas están cuantificadas, como se describe con precisión por carga eléctrica, hipercarga electrodébil, isospín electrodébil y cargas de color en el$U(1)\times SU(2)\times SU(3)~$modelo estandar.

2. Si existen monopolos magnéticos duales , entonces la teoría cuántica proporciona una explicación natural para la cuantización de carga. Es decir, al jugar con las líneas de Wilson , el valor único de la función de onda requiere que las cargas estén cuantificadas (es decir, que tomen solo valores discretos) y que el grupo de indicadores sea compacto, como lo explicó por primera vez Dirac.

3. Es un resultado estándar en la teoría de la representación que, para una representación de dimensión finita de un grupo de Lie compacto , las cargas (es decir, los valores propios de los generadores CSA) toman valores en una red de pesos discretos.

4. Si un grupo de indicadores contiene tanto una dirección compacta como una no compacta, es decir, si su forma bilineal$^1$tiene una firma indefinida, es imposible definir un subespacio de Hilbert de norma positiva no trivial de física, propagación,$A^a_{\mu}$estados del campo calibre.

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$^1$Por una forma bilineal se entiende aquí una forma bilineal invariante/asociativa no degenerada en el álgebra de Lie. Para un álgebra de Lie semisimple , podemos usar la forma Killing .

La situación es similar con la cuantificación de espín SU(2). Los generadores de SU(2) están cuantificados, mientras que U(1) no es así. El espín se cuantifica en el espacio 3D, pero en un espacio 2D es un número real continuo, con estadísticas cuánticas fraccionarias intermedias entre bosones y fermiones.