¿Por qué requerimos que los generadores de teorías calibre SU(N)SU(N)\mathrm{SU(N)} sean matrices N×NN×NN \times N?

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¿Por qué requerimos que los generadores de teorías calibre SU(N)SU(N)\mathrm{SU(N)} sean matrices N×NN×NN \times N?

Física
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representaciones de grupo

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A menudo he leído que los generadores para $\mathrm{SU(N)}$ Las teorías de calibre deben ser $N \times N$ matrices; consulte, por ejemplo, estas notas en la parte superior de la página 3: http://www.staff.science.uu.nl/~wit00103/ftip/Ch12.pdf ‎. ¿Por qué es esto?

No creo que esto sea necesario desde un punto de vista matemático. Por ejemplo, para $\mathrm{SU(2)}$ podemos considerar la $2 \times 2$ generadores:

\begin{array}{ccc} j_{1 / 2}^{1} = \frac{1}{2} (\begin{matrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{matrix}), & j_{1 / 2}^{2} = \frac{1}{2} (\begin{matrix} 0 & - i \\ i & 0 \end{matrix}), & j_{1 / 2}^{3} = \frac{1}{2} (\begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & - 1 \end{matrix}) \end{array}

$\begin{equation} \begin{array}{ccc} \displaystyle J_{1/2}^1=\frac{1}{2}\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} \; ,& \displaystyle J_{1/2}^2=\frac{1}{2}\begin{pmatrix} 0 & -i \\ i & 0 \end{pmatrix} \; ,& \displaystyle J_{1/2}^3=\frac{1}{2}\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix} \end{array} \end{equation}$ Sin embargo, también los siguientes

3 \times 3

$3 \times 3$ generadores satisfacen el álgebra de Lie:

\begin{array}{ccc} j_{1}^{1} = \frac{1}{\sqrt{2}} (\begin{matrix} 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \end{matrix}), & j_{1}^{2} = \frac{1}{\sqrt{2}} (\begin{matrix} 0 & - i & 0 \\ i & 0 & - i \\ 0 & i & 0 \end{matrix}), & j_{1}^{3} = (\begin{matrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - 1 \end{matrix}) \end{array}

$\begin{equation} \begin{array}{ccc} \displaystyle J_{1}^1=\frac{1}{\sqrt{2}}\begin{pmatrix} 0 & 1 & 0\\ 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \end{pmatrix} \; ,& \displaystyle J_{1}^2=\frac{1}{\sqrt{2}}\begin{pmatrix} 0 & -i & 0 \\ i & 0 & -i \\ 0 & i & 0 \end{pmatrix} \; ,& \displaystyle J_{1}^3=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -1 \end{pmatrix} \end{array} \end{equation}$

Respuestas (2)

¿Por qué requerimos que los generadores de teorías calibre SU(N)SU(N)\mathrm{SU(N)} sean matrices N×NN×NN \times N?

maravilloso · Answer 1

También debe especificar la Representación .

La Representación requiere SU(N) El grupo de mentiras con matriz N×N se llama Representación Fundamental . Que se utiliza en el modelo estándar U(1) x SU(2) x SU(3).

Seguramente puede tener grupos de mentiras SU(N) con otra Representación, como la Representación adjunta , entonces, en este caso, SU(N) está representado por una matriz con un rango del número de su elemento de grupo $d(G)$ , que es rango- $(N^2-1)$ . es decir $(N^2-1)$ X $(N^2-1)$ matriz. En este caso, la representación adjunta para un grupo de Lie G es una forma de representar los elementos del grupo como transformaciones lineales del álgebra de Lie del grupo. Entonces el generador $(T^a)_{bc}=-if_{ab}{}^c$ , toma su valor como constante de estructura. (aquí $[T^a,T^b]=i f_{ab}{}^c T^c$ .)

Así que no hay ningún rompecabezas en absoluto.

Gracias por su respuesta. Entonces, si lo entiendo correctamente, ¿hemos encontrado un modelo (es decir, el modelo estándar) que "sucede" que funciona muy bien si usamos la representación fundamental? No hay una razón específica para usar la representación fundamental, excepto que "sucede" que la naturaleza parece funcionar de esa manera.
Hola Hunter, no creo que la física de partículas proporcione una razón profunda. Pero, sabemos que hay una razón superficial para tener rango- $N$ matriz, por la razón de que la carga de color es 3 para SU(3) QCD.
por cierto. Sé que, desde el punto de vista de la materia condensada, hay razones topológicas por las que hay 3 generaciones de 16 fermiones de Weyl y 3 generaciones de neutrinos. Es de un argumento como la cadena 1D de Kitaev, generalizada a una cadena 1D fluctuante en 3+1D.
Ok, gracias, supongo que esperaba que hubiera alguna razón más profunda.
Creo que sí, es tu oportunidad de convertirte en un gran físico resolviendo esta razón profunda, déjame saber tu progreso. :-)
Debo señalar que hay extensiones al Modelo Estándar que incluyen nuevas partículas que no están en las representaciones fundamentales de $SU(N)$ , pero tener partículas en el fundamental es en cierto sentido más {\em económico}.
Su explicación es muy importante. Puede corregir la gramática de la respuesta oficial: no pude entender claramente la respuesta por eso: "La Representación requiere ... es".

Dox · Answer 2

Cada grupo de Lie tiene un conjunto de generadores y, por lo general, un elemento de grupo se encuentra mediante la exponenciación (combinaciones lineales) de estos generadores.

Dado que la definición fundamental de decir $SU(N)$ [similarmente $SO(N)$ ] es algo como

El grupo de unitarios (ortogonales), $n$ por $n$ matrices con determinante unitario

entonces, la representación fundamental está dada por $n$ por $n$ matrices.

Sin embargo, el grupo ES generado por el álgebra. Por lo tanto, cualquier conjunto de "matrices" que satisfagan las relaciones de conmutación que define el álgebra genera una nueva representación (probablemente no equivalente) del grupo.

Ejemplos

Representación trivial: si todos los generadores son cero, $T^a = 0, \; \forall \; a$ , toda álgebra de Lie se satisface. Y la representación del grupo es la unidad escalar. $1$ . Esto se llama la representación trivial .

Representación adjunta: Una representación de dimensión igual a la dimensión del grupo, es decir , $n$ por $n$ matrices donde $n=\mathrm{dim}(G)$ , se puede definir identificando los generadores con las constantes de estructura del grupo (como lo señaló @Idear en otra respuesta de esta pregunta,

(T^{a})_{b C} = - i F_{b C}^{a} .

$(T^a)_{bc} = -\imath f_{bc}{}^a.$

Además, se pueden "crear" más representaciones del grupo multiplicando las representaciones conocidas (a través del producto tensorial) o sumándolas (a través de la suma directa). No obstante, el resultado de esta operación no son necesariamente representaciones irreductibles (o irreps), ¡pero eso es tema para otro post!

;-)

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