¿Cómo implica la identidad Ward-Takahashi que los fotones no transversales no son físicos en QED?

Question

¿Cómo implica la identidad Ward-Takahashi que los fotones no transversales no son físicos en QED?

Física
unitaridad
teoría de calibre
identidad de barrio
renormalización
electrodinámica-cuántica

usuario26866

Peskin y Schroeder dicen que Ward Identity of QED demuestra que las polarizaciones de fotones no transversales pueden ignorarse constantemente, pero estoy confundido acerca de los detalles.

Configuración

Se comienza considerando algún proceso con un fotón externo cuyo impulso se elige para ser $k^\mu=(k,0,0,k)$ y sean los dos vectores de polarización transversal $\epsilon_1^\mu=(0,1,0,0)$ y $\epsilon_2^\mu=(0,0,1,0)$ . La identidad de Ward nos dice que si la amplitud del proceso es $\mathcal{M}=\mathcal{M}^\mu\epsilon_\mu(k)$ , donde hemos factorizado el vector de polarización para el fotón externo en consideración, entonces la amplitud obedece $\mathcal{M}^\mu k_\mu=0$ , en concha. Con nuestra configuración, esto simplemente nos dice $\mathcal{M}^0=\mathcal{M}^3$ . Si luego calculamos el cuadrado de la amplitud y sumamos las polarizaciones externas, encontraríamos $|\mathcal{M}|^2=\sum_{i\in\{1,2\}}\epsilon_{i\mu}\epsilon_{i\nu}^*\mathcal{M}^\mu\mathcal{M}^{*\nu}=|\mathcal{M}^1|^2+|\mathcal{M}^2|^2$ . Debido a la identidad de Ward, esto es igual a $-\eta_{\mu\nu}\mathcal{M}^\mu\mathcal{M}^{*\nu}$ y así podemos hacer el reemplazo $\sum_{i\in\{1,2\}}\epsilon_{i\mu}\epsilon_{i\nu}\to -\eta_{\mu\nu}$ . Peskin y Schroeder afirman (págs. 160-161) que esto es una prueba de que los fotones no transversales pueden ignorarse sistemáticamente.

Varias preguntas

1) P&S parece afirmar que si también hubiéramos sumado polarizaciones no transversales, encontraríamos que la suma de polarización simplemente se convierte en $-\eta_{\mu\nu}$ . Sin embargo, si uso los dos vectores $\alpha_1^\mu=(1,0,0,0)$ y $\alpha_2^\mu=(0,0,0,1)$ como base para las polarizaciones no transversales, entonces parecería que la suma de polarización se convertiría en $\delta_{\mu\nu}$ más bien que $-\eta_{\mu\nu}$ . ¿Cómo se sabe que debe haber un signo menos adicional para que $|\mathcal{M}^0|^2$ viene con un signo menos relativo a todas las demás amplitudes al cuadrado? Es decir, de alguna manera sabría que el cálculo correcto viene dado por $\sum_{\rm all\ polarizations}|\mathcal M|^2=\mathcal{M}^\mu\mathcal{M}^{*\nu}(\epsilon_{1\mu}\epsilon^*_{1\nu}+\epsilon_{2\mu}\epsilon_{2\nu}^*-\alpha_{1\mu}\alpha_{1\nu}^*+\alpha_{2\mu}\alpha_{2\nu}^*)$ , pero no veo de dónde surgiría ese signo menos. Uno podría suponer que tendrías que terminar con algo proporcional a $\eta_{\mu\nu}$ debido a Lorentz-Invariance, pero eso no es muy satisfactorio. Finalmente, la suma de polarización es ingenuamente una suma de números manifiestamente positivos, pero el argumento P&S depende de algún tipo de cancelación entre estos números, entonces, ¿cómo es esto posible?

2) ¿Qué pasa con los escenarios en los que no se realiza la suma de polarización? Pensé que la suma de polarización solo se realizaba cuando el detector es insensible a la polarización, que no siempre es el caso en cuestión. Hubiera pensado que uno podría mostrar que la polarización no transversal no es física sin tener que hacer una suma de polarización. Por ejemplo, dado $\mathcal{M}^\mu$ Hubiera pensado que podríamos haber contraído esto con uno de los vectores de polarización no transversal, digamos $\alpha_2^\mu$ , y deberíamos encontrar que la amplitud de este proceso se desvanece por sí misma.

3) ¿No deberíamos mostrar que también podemos ignorar los estados no transversales en todas las partes del diagrama, no solo en las patas externas? Si los estados no transversales pueden ejecutarse en bucles, entonces deben incluirse en los estados físicos inicial y final, debido al teorema óptico, que debe evitarse. ¿O P&S afirma que han demostrado que han demostrado que las polarizaciones no transversales pueden ignorarse en los estados inicial y final, por lo que, según el teorema óptico, también pueden ignorarse en bucles?

Trimok

Acerca de 2) Los términos con lo no físico

α_{1}, α_{2}

$\alpha_1, \alpha_2$ intercalado con el

M_{μ}

$M_\mu$ dar cero (de hecho, en el calibre axial, por ejemplo, podrías ver que los términos

α_{1}, α_{2}

$\alpha_1, \alpha_2$ son proporcionales a

k_{μ}

$k_\mu$ o para

k_{ν}

$k_\nu$ o a ambos, por lo que desaparecieron cuando se emparedaron con el

M_{μ}

$M_\mu$ ). Entonces, de hecho, puede mantener un término (

ϵ_{1}

$\epsilon_1$ ) o el otro término (

ϵ_{2}

$\epsilon_2$ ), o ambos términos

ϵ_{1}, ϵ_{2}

$\epsilon_1, \epsilon_2$ , dependiendo del experimento que estés haciendo (polarizado o no polarizado)

Andrés

@Trimok: Según tengo entendido, los vectores de polarización no físicos son artefactos de calibre. Solo presentas a los dos

α_{1}

$\alpha_1$ y

α_{2}

$\alpha_2$ en un calibre covariante, allí no se cancelan por separado sino solo en la combinación covariante

k_{μ}

$k_\mu$ . En el calibre axial, simplemente no introduce el vector de polarización para la dirección que está configurando en cero, por lo que en ese caso hay un vector de polarización no físico

α

$\alpha$ que se cancela solo. ¿Estás de acuerdo, o estás diciendo que

α_{1}

$\alpha_1$ por sí solo en un calibre covariante es eliminado por

M_{μ}

$M_\mu$ ? (No es un desafío, solo estoy tratando de aprender)

Trimok

@Andrew: Sí, las polarizaciones no físicas

α_{1}, α_{2}

$\alpha_1, \alpha_2$ son un todo y no son separables (así que no fui lo suficientemente preciso, mi culpa ...). Esto es cierto para cualquier calibre. Por supuesto, podemos pensar con algo específico con el calibre de Coulomb o el calibre axial, pero hay grados de libertad no físicos, por lo que tal vez sea mejor considerarlo como un todo. La idea es que el término

η_{i j} ϵ_{μ}^{(i)} ϵ_{ν}^{(j)}

$\eta_{ij}\epsilon^{(i)}_\mu \epsilon^{(j)}_\nu$ , para todas las polarizaciones, es siempre igual, por definición, a

η_{μ ν}

$\eta_{\mu\nu}$ ,

Trimok

@Andrew:... mientras que el mismo término para polarizaciones físicas está relacionado con la expresión del propagador en algún calibre

\frac{1}{k^{2}} (η_{μ ν} + X_{μ ν})

$\frac{1}{k^2}(\eta_{\mu\nu} + X_{\mu\nu})$ . Así que las polarizaciones no físicas corresponden a

- X_{μ ν}

$-X_{\mu\nu}$ . Ahora bien, el interés del calibre axial, es que

- X_{μ ν}

$-X_{\mu\nu}$ es proporcional a

k_{μ}

$k_\mu$ o

k_{ν}

$k_\nu$ o ambos. Entonces, intercalado con el

M_{μ}

$M_\mu$ , esto da cero.

Respuestas (1)

¿Cómo implica la identidad Ward-Takahashi que los fotones no transversales no son físicos en QED?

Acerca de 2) Los términos con lo no físico $\alpha_1, \alpha_2$ intercalado con el $M_\mu$ dar cero (de hecho, en el calibre axial, por ejemplo, podrías ver que los términos $\alpha_1, \alpha_2$ son proporcionales a $k_\mu$ o para $k_\nu$ o a ambos, por lo que desaparecieron cuando se emparedaron con el $M_\mu$ ). Entonces, de hecho, puede mantener un término ( $\epsilon_1$ ) o el otro término ( $\epsilon_2$ ), o ambos términos $\epsilon_1, \epsilon_2$ , dependiendo del experimento que estés haciendo (polarizado o no polarizado)
@Trimok: Según tengo entendido, los vectores de polarización no físicos son artefactos de calibre. Solo presentas a los dos $\alpha_1$ y $\alpha_2$ en un calibre covariante, allí no se cancelan por separado sino solo en la combinación covariante $k_\mu$ . En el calibre axial, simplemente no introduce el vector de polarización para la dirección que está configurando en cero, por lo que en ese caso hay un vector de polarización no físico $\alpha$ que se cancela solo. ¿Estás de acuerdo, o estás diciendo que $\alpha_1$ por sí solo en un calibre covariante es eliminado por $M_\mu$ ? (No es un desafío, solo estoy tratando de aprender)
@Andrew: Sí, las polarizaciones no físicas $\alpha_1, \alpha_2$ son un todo y no son separables (así que no fui lo suficientemente preciso, mi culpa ...). Esto es cierto para cualquier calibre. Por supuesto, podemos pensar con algo específico con el calibre de Coulomb o el calibre axial, pero hay grados de libertad no físicos, por lo que tal vez sea mejor considerarlo como un todo. La idea es que el término $\eta_{ij}\epsilon^{(i)}_\mu \epsilon^{(j)}_\nu$ , para todas las polarizaciones, es siempre igual, por definición, a $\eta_{\mu\nu}$ ,
@Andrew:... mientras que el mismo término para polarizaciones físicas está relacionado con la expresión del propagador en algún calibre $\frac{1}{k^2}(\eta_{\mu\nu} + X_{\mu\nu})$ . Así que las polarizaciones no físicas corresponden a $-X_{\mu\nu}$ . Ahora bien, el interés del calibre axial, es que $-X_{\mu\nu}$ es proporcional a $k_\mu$ o $k_\nu$ o ambos. Entonces, intercalado con el $M_\mu$ , esto da cero.

Andrés · Answer 1

(1) La relación de completitud para una base de vectores ortonormales con respecto a $\eta_{\mu\nu}$ es

η_{i j} ϵ_{m}^{(i)} ϵ_{v}^{(j)} = η_{m v}

$\begin{equation} \eta_{ij}\epsilon^{(i)}_\mu \epsilon^{(j)}_\nu = \eta_{\mu\nu} \end{equation}$ Esta convención de normalización se elige para la invariancia de Lorentz... Sé que dijiste que no querías esa respuesta, pero el punto es que la normalización de estos vectores es una cuestión de convención y es mejor elegir una invariante de Lorentz. Una ventaja de elegir una normalización LI es que no necesitamos especificar el argumento: el

ϵ

$\epsilon$ dependen del impulso, pero estas condiciones de normalización no. los

η_{i j}

$\eta_{ij}$ proporciona el signo menos que te falta. También aquí se ve el problema básico que soluciona la simetría de calibre: uno de los vectores de polarización necesariamente tiene una norma negativa.

(2) Dicho esto, $\epsilon_\mu^{0}$ y $\epsilon_\mu^{3}$ no son válidos en cantidades de conchas. Son una ficción matemática conveniente, necesaria para hacer una base ortonormal, que permite que las cosas se escriban de una manera agradable, invariante de Lorentz. Pero las patas externas de los diagramas de Feynman deben estar en el caparazón y, como resultado, solo puede poner vectores de polarización realmente honestos en el caparazón allí, por lo que no está permitido poner $\epsilon^{(0,3)}$ allí en absoluto. Dicho de otra manera, no puede satisfacer las ecuaciones de movimiento del fotón con los modos longitudinal y temporal, pero la fórmula LSZ selecciona las funciones de onda externas que satisfacen las ecuaciones de movimiento clásicas. Sin embargo, desde $k_\mu \mathcal{M}^\mu=0$ , podrías agregar $0$ en la combinación divertida $\left(\epsilon^{(0)}_\mu-\epsilon^{(3)}_\mu\right)\mathcal{M}^\mu$ , que luego puede agregar a sus otros vectores base para formar $\eta_{\mu\nu}\mathcal{M}^{*\mu}\mathcal{M}^\nu$ cuando elevas al cuadrado para formar la probabilidad. Si la hipocresía de esto te enoja, esa es una reacción natural, eventualmente la aceptarás. (Bienvenido a la teoría del calibre).

(3) EXCELENTE pregunta. Necesita la formulación original de la identidad de Ward para dar una respuesta real a esto, eso está en el capítulo 7 de P&S. Básicamente, hay más que simplemente "reemplazar el vector de polarización externo por $k_\mu$ ", realmente puedes demostrar que las partes del propagador proporcionales a $k_\mu k_\nu$ nunca importa incluso en bucles. Sin embargo, en las teorías de Yang Mills, ¡la afirmación correspondiente no es cierta! Entonces, su pregunta es exactamente sobre el dinero para las teorías de Yang Mills, obtiene contribuciones en bucles de los modos longitudinales y temporales, y según el teorema óptico, esto tomado al pie de la letra conduciría a la producción de partículas no físicas. La solución es agregar aún más partículas no físicas a la teoría para cancelar estas partes de los diagramas de bucle, se llaman fantasmas de Fadeev Popov.

Después de hojear Peskin y Schroder para responder a esta pregunta, debo decir que están demostrando las cosas de una manera muy indirecta. Es bueno que enseñe cómo pensar en los diagramas de Feynman de una manera muy detallada... Pero hay otras formas menos dolorosas de probar y pensar en la Identidad de Ward (como usar la integral de ruta).

Excelente respuesta Comentario histórico: (no he leído el trabajo original, pero) creo que el argumento indirecto en (3) es lo que originalmente llevó a Feynman a introducir fantasmas, y solo más tarde se entendió directamente a través del determinante de Fadeev-Popov. . Entonces, el OP está volviendo sobre los pasos de Feynman por así decirlo.
Tienes razón en esto. ¡Aunque la integral de trayectoria te da esa respuesta mucho más rápido!
¡Gracias por la respuesta! Parece que a menudo terminas respondiendo mis preguntas o al menos comentándolas y te lo agradezco. Algunas preguntas mías en respuesta: 1) Entiendo que los vectores de polarización obedecen a esa relación de completitud, pero no veo exactamente por qué esa relación de completitud entra en el cálculo. Creo que al final aún sumarías cantidades definidas positivas como $|\epsilon_i\cdot \mathcal{M}_i|^2$ . 2) Pensé que el punto era que incluso si eras tonto y tratabas de contraer $\mathcal{M}^\mu$ con vectores de polarización no físicos, encontrará que estos (continuación)
(continuación) cancelación de aportes. ¿Qué pasa si trato de agregar $\left(\epsilon_\mu^{(0)}+\epsilon_\mu^{(3)}\right)\mathcal M^\mu$ ?

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Andrés

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