¿Qué prohíbe la existencia de un término λ(AμAμ)2λ(AμAμ)2\lambda (A^\mu A_\mu)^2 en la acción Stueckelberg?

En QFT, el "truco" de Stueckelberg se usa a menudo para mostrar cómo se puede escribir un Lagrangiano invariante de calibre completo a partir de uno que no lo es. Por ejemplo, si tenemos

$\mathcal{L} = -\frac{1}{4}F^{\mu\nu}F_{\mu\nu} + m^2 A^\mu A_\mu$,

la invariancia de calibre se hace evidente cuando reescribimos el bosón de calibre masivo en términos de un nuevo campo vectorial y un campo escalar$\phi$:$A^\mu \rightarrow A^\mu + \frac{1}{m}\partial_\mu \phi$. Entonces, el Lagrangiano es entonces invariante bajo$\delta \phi = -m \Lambda(x)$y$\delta A_\mu = \partial_\mu \Lambda(x)$.

Mi pregunta es la siguiente: por lo general, nunca vemos términos presentes en el lagrangiano anterior como$\lambda (A^\mu A_\mu)^2$. Además, parece que siempre podemos seguir agregando términos como$(A^\mu A_\mu)^4/m^2$, lo que claramente parece un problema. Si consideramos la teoría de Stueckelberg como una en la que el bosón de Higgs se ha integrado y solo nos quedan los bosones de Goldstone sin masa$\phi$, términos como$\lambda (A^\mu A_\mu)^2$debería volverse muy relevante a altas energías por análisis dimensional. Me encantaría alguna aclaración sobre por qué nunca están presentes en el Lagrangiano.