¿Cómo funciona la distribución binomial?

Su primer párrafo sobre variables aleatorias, distribuciones y medidas de imagen es correcto.

Es importante distinguir entre una variable aleatoria binomial, que es una variable aleatoria$X$, cuya distribución$\mathbb{P}_X$es la distribución binomial, y la distribución binomial misma, que es solo una medida.

Suponer que$X:\Omega \rightarrow \mathbb{R}$es una variable aleatoria con distribución

$$\mathbb{P}_X = \sum_{k=0}^n {n \choose k } p^k(1-p)^{n-k}\delta_k,$$ ¿Qué podemos decir entonces sobre$\mathbb{P}(X=j)$para$j\in \{0,\dots,n\}$? Calculamos usando la formula $$\begin{align*} \mathbb{P}(X=j) &= \mathbb{P}_X(\{j\}) \\ &= \sum_{i=0}^n {n \choose k } p^k(1-p)^{n-k}\delta_k(\{j\}) \\ &= {n \choose j } p^j(1-p)^{n-j} \end{align*}$$ donde hemos usado eso $$\delta_k(\{j\}) = \begin{cases} 1 & k=j \\ 0 & k\neq j\end{cases}.$$ Y vemos que dos definiciones concuerdan entre sí. La ventaja de la segunda definición es que$\sum_{k=0}^n {n \choose k } p^k(1-p)^{n-k}\delta_k(A)$está bien definido para todos los conjuntos medibles$A \subseteq \mathbb{R}$y no solo singletons. Tenga en cuenta que algunas variables aleatorias (normalmente distribuidas rv por ejemplo) tienen$\mathbb{P}(X=j) = 0$para todos$j$.

La primera es la función de masa en$k$. La segunda es la medida asociada a esa función de masa.

la masa en$k$es un solo número: la probabilidad de que$X = k$. La función de masa es una función del soporte de$X$a$[0, 1]$definido por$f(k) = \binom{n}{k}p^k(1 - p)^{n - k}$. O podríamos decir que$f$es una función de$\mathbf{R} \to [0,1]$pero apoyado en$\{0,\dots,n\}$.

Una medida de probabilidad no es una función de$\{0,\dots,n\}$o de$\mathbf{R}$a$[0,1]$. Una medida es una función de subconjuntos medibles a$[0,1]$. Es decir, cualquiera de los subconjuntos de$\{0,\dots,n\}$o$\mathbf{R}$dependiendo de cuál sea el dominio de$\delta_k$es.

Concretamente esa medida es

$$\mu_X(A) = \sum_{k = 0}^n \binom{n}{k}p^k(1 - p)^{n - k}\delta_k(A) = \sum_{k \in A} \binom{n}{k}p^k(1 - p)^{n - k}$$

desde$\delta_k(A) = 1$si$k \in A$y es$0$si$k \notin A$.

Notarás que el dominio suele ser un poco ambiguo en la teoría de la probabilidad.

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Editar: aquí hay algunas definiciones más en lenguaje teórico de la medida.

Permítanme hacer las anotaciones un poco más explícitas aquí. Entonces tenemos un espacio de probabilidad$(\Omega, \Sigma, \mathbf{P})$y$X : \Omega \to \mathbf{R}^n$es alguna función medible. Dejar$S$ser el rango de$X$. Entonces$X$induce una medida$\mu_X$sobre los subconjuntos medibles de$S$. Esta construcción se conoce como medida pushforward y está definida por$\mu_X(A) = \mathbf{P}(X \in A) = \mathbf{P}(X^{-1}(A))$. Llamamos$\mu_X$la distribución de probabilidad o medida de$X$.

Ahora supongamos$\mu_X$es absolutamente continua con respecto a la medida de Lebesgue sobre$\mathbf{R}^n$. Entonces hay una función$f_X = \frac{d\mu_X}{d\lambda} : \mathbf{R}^n \to \mathbf{R}$llamada función de densidad de$X$(o derivado de Radon-Nikodym en una teoría de medida más general). La conexión entre$f_X$y$\mu_X$es que para todo conjunto medible$A \subseteq S$,

$$\mu_X(A) = \int_{\mathbf{R}^n} \pmb 1_A f_X d\lambda = \int_{\mathbf{R}^n} \pmb 1_A \frac{d\mu_X}{d\lambda} d\lambda = \int_{\mathbf{R}^n} \pmb 1_A d\mu_X.$$

Del mismo modo, si$\mu_X$es absolutamente continua con respecto a la medida de conteo en$\mathbf{Z}^n$, la derivada de Radon-Nikodym ahora se llama la función de masa de$\mu_X$y de nuevo tenemos la identidad integral anterior. Excepto que ahora, la integral es sobre un conjunto contable. Entonces podemos escribirlo como

$$\mu_X(A) = \int_{\mathbf{R}^n} \pmb 1_A d\mu_X = \sum_{x \in A} \mu_X(\{x\}) = \sum_{x \in A} f_X(x).$$

La medida de conteo en algún conjunto discreto$S$, como$\mathbb{Z}$o$\mathbf{N}$es$\lambda = \sum_{k \in S} \delta_k$dónde

$$\delta_k(A) = \begin{cases} 1 & \text{if } k \in A, \\ 0 & \text{if not}.\end{cases}$$

Con esta descomposición, vemos que para cualquier subconjunto$A$de$\mathbf{R}^n$, tenemos$\lambda(A) = \sum_{k \in S} \delta_k(A) = \#(A \cap S)$. Más generalmente, para la medida$\mu_X$, tenemos

$$\mu_X(A) = \sum_{k \in S} f_X(k) \delta_k(A).$$

O simplemente "$\mu_X = \sum f_X(k) \delta_k$."