Matrices Gamma en Regularización Dimensional

Pruebalo t r ( γ m γ v γ ρ γ σ γ 5 ) = 0 cuando la dimensión del espacio-tiempo no es 4.

Lo que he probado:

Lo sabemos γ α γ α = d 1 , por lo que podemos escribir:

t r ( γ m γ v γ ρ γ σ γ 5 ) = 1 d t r ( γ α γ α γ m γ v γ ρ γ σ γ 5 )

Entonces pensé que podría viajar γ α pasadas dos gammas porque si α ∉ { m , v , ρ , σ } , entonces { γ α , γ m } = 0 y de alguna manera mostrar que obtengo menos de lo que comencé, usando la ciclicidad de la traza y eso { γ 5 , γ m } = 0 .

Sin embargo, de lo que no estoy seguro es por qué siempre podemos encontrar tales α de modo que α ∉ { m , v , ρ , σ } . Entiendo que esto es generalmente posible cuando d ∈ R ∧ d > 4 , sin embargo cuando d ∈ C , esta afirmación no tiene ningún sentido para mí.

¿Alguien puede proporcionar una prueba rigurosa de esta afirmación que evite el obstáculo que mencioné anteriormente?

Ver también aquí , para una discusión ampliada del tema en el contexto de la regularización analítica y dimensional.

Respuestas (1)

Como se muestra en el capítulo 47 del libro de Srednicki, usando la definición de γ 5 y las relaciones ( γ i ) 2 = − 1 y ( γ 0 ) 2 = 1 , podemos demostrar que

Tr ( γ 5 γ m γ v γ ρ γ σ ) = − 4 i ϵ m v ρ σ .

Ahora podemos usar una propiedad fundamental del símbolo de Levi-Civita, a saber, el hecho de que el número de sus índices tiene que coincidir con el número de dimensiones del espacio-tiempo. Si este no es el caso, se desvanece. Por lo tanto, esto prueba la afirmación inicial.

Entonces, ¿deberíamos descuidar este tipo de término cuando hacemos la regularización dimensional con d = 4 − ε ?
Aunque formalmente es cero, podría tener sentido mantenerlo en algunos casos. Sin embargo, no tengo suficiente experiencia en esa área para hacer una declaración general.
@FredericBrünner, gracias, pero no estoy muy contento con esta solución. Para mostrar que T r ( γ 5 γ m γ v γ ρ γ σ ) = − 4 i ε m v ρ σ Uso el hecho de que si dos índices en ( m , v , ρ , σ ) son iguales, luego elegimos un nuevo índice, λ ∉ { m , v , ρ , σ } , y luego anti-conmutarlo hasta el final para obtener el rastro es menos en sí mismo y, por lo tanto, cero. Sin embargo, este tipo de truco es exactamente lo que estaba tratando de evitar cuando planteé mi pregunta por primera vez porque cuando d ≠ 4 No me siento cómodo para escoger tal índice.
@PPR: Hay una discusión interesante en este artículo , capítulo 7.4 pag. 213 , la definición precisa de γ 5 pag. 214 , y la fórmula ( 7.22 ) pag. 215 te puede interesar
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