¿Cómo es Momenergy marco independiente?

Existe cierto desacuerdo semántico sobre el significado de un vector en física (aunque los conceptos no están en disputa).

1) Vector como objeto geométrico, o "flecha"

Algunos dirían que la energía del momento, más comúnmente llamada cuatro impulsos, es como una flecha en el espacio-tiempo con alguna magnitud y dirección (de hecho, la magnitud es$mc$y la dirección es tangente a la línea del mundo, como usted señaló). A medida que cambia su marco de referencia, los componentes de este vector de cuatro parecen cambiar, ya que la dirección de la flecha relativa a usted parece cambiar. Pero la flecha no ha cambiado ; es invariante.

Si el cuatro impulso es realmente un objeto geométrico invariante, entonces debe comportarse como uno bajo transformaciones de coordenadas. En particular, recuerda del álgebra lineal que cuando realizas un cambio de base, las coordenadas de los vectores también cambian; de hecho, cambian por multiplicación por la inversa de la matriz de cambio de base. Este comportamiento bajo cambio de base se llama contravarianza . Las cantidades contravariantes se denotan con índices en superíndice.

Un "marco de referencia" en relatividad es realmente una elección de tres direcciones similares al espacio y una dirección similar al tiempo para que sean los vectores base que usa para asignar coordenadas a puntos y vectores en el espacio-tiempo. Cambia tu marco, y tu base también cambia. En relatividad especial, la matriz de transformación de Lorentz$\Lambda$da el cambio de base en términos del ángulo de rotación y la velocidad de impulso de su cambio de cuadro. Entonces, los componentes del impulso de cuatro deben transformarse con$\Lambda^{-1}$. (*)

Si este no fuera el caso, entonces las propiedades de transformación de las coordenadas del impulso de cuatro serían inconsistentes con la imagen del impulso de cuatro como una "flecha" invariable en algún lugar del espacio-tiempo. Pero es el caso, por lo que podemos tratarlo de esta manera. En este sentido podemos decir que el cuatro impulso es independiente del marco.

2) Vector como secuencia de componentes

Otros identifican vectores con sus componentes. Si mido los componentes de una cantidad vectorial para ser$(1, 2, 3, 4)$, diré entonces que el vector es $(1, 2, 3, 4)$, en lugar de pensar en el vector como una flecha en el espacio-tiempo cuyas componentes resultan ser $(1, 2, 3, 4)$en cualquiera que sea mi marco de referencia . En esta vista, el vector realmente cambia cuando cambio mi marco de referencia (después de todo, el vector son los componentes y los componentes cambian).

Si adoptamos este enfoque, imponemos la contravarianza como requisito para que un conjunto de cuatro componentes denote una cantidad física significativa en la relatividad especial, en lugar de derivarla de la naturaleza invariable de un objeto geométrico. Ahora bien, no podemos decir que el impulso de cuatro es realmente invariante o independiente del marco. Pero es contravariante, y eso es suficiente. El cálculo de la relatividad se formula en términos de cantidades contravariantes, invariantes y covariantes (ver más abajo).

(*) En realidad, la matriz de transformación de Lorentz se define de tal manera que los vectores base se transforman con$\Lambda^{-1}$. Se define así que las propias coordenadas, que también son contravariantes en la relatividad especial, se transforman con$(\Lambda^{-1})^{-1} = \Lambda$. Entonces, de hecho, el impulso de cuatro también se transforma con$\Lambda$. Pero también podemos optar por tratar el cuatro impulsos como un covector (con índices de subíndices), en cuyo caso sus componentes se transforman con el cambio de matriz de base$\Lambda^{-1}$sí mismo, no su inverso$\Lambda$.