Reducción de la relatividad general a la relatividad especial en caso límite

Cuando dice "¿cómo podemos derivar la transformación de Lorentz de la Relatividad General?", en realidad está preguntando "¿cómo es que la métrica de Minkowski es una solución de la ecuación del vacío de Einstein", porque la Relatividad Especial es solo la geometría definida por la métrica de Minkowski.

Si toma la ecuación de Einstein y apaga la gravedad estableciendo$G = 0$, obtienes la ecuación de Einstein del vacío$G_{a b} = 0$. La métrica de Minkowski es una solución de esta ecuación, pero por supuesto hay muchas otras. De su pregunta, supongo que espera que la ecuación de Einstein se simplifique en ausencia de gravedad, y esto hará que sea obvio cómo surge la Relatividad Especial. Lamentablemente, este no es el caso, porque incluso en ausencia de masa, o$G$ajustado a cero, las ondas de gravedad todavía están permitidas.

No creo que haya ninguna forma de simplificar la ecuación de Einstein para que la métrica de Minkowski sea la única solución. Puede requerir que las primeras derivadas de la métrica desaparezcan, pero esto realmente es obtener la solución de espacio plano al requerir que el espacio no sea curvo, lo cual es un poco una tautología. El problema es que SR, la métrica de Minkowski, es una suposición, es decir, es desde donde comienzas. En GR, la métrica de Minkowski es solo una entre muchas soluciones, por lo que no tiene nada de fundamental.

Echa un vistazo a http://en.wikipedia.org/wiki/Einstein_tensor si quieres jugar con el tensor de Einstein para intentar extraer la métrica de Minkowksi.

Si toma un espaciotiempo cuya métrica es una solución de las ecuaciones de Einstein, luego elige un punto en ese espaciotiempo e introduce allí un sistema de coordenadas inercial local, la métrica en ese punto se puede llevar a la forma de Minkowski. Efectivamente, al trabajar en un marco de inercia local, está viendo lo que verían los observadores en caída libre: está eliminando los efectos de la gravedad al caer junto con ella. Para que esto funcione completamente, también debe restringirse a una región infinitesimalmente pequeña, de lo contrario, los efectos de marea de la gravedad se notarán y nuevamente la métrica se desviará de los valores de Minkowski.

Por supuesto que el conjunto de coordenadas localmente inerciales no es único, pero la transformación de un conjunto a otro tendría que conservar la métrica de Minkowski, es decir, serían transformaciones de Lorentz. Es en este sentido de limitación (marco inercial, región infinitesimalmente pequeña) que GR se "reduce" a SR, y las transformaciones de coordenadas generales permitidas por GR quedan restringidas a las transformaciones de Lorentz de SR.

Aquí hay una elaboración matemáticamente rigurosa de la respuesta de twistor59, que no menciona en absoluto las ecuaciones de campo de Einstein.

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Dejar$(M,g)$sea ​​una variedad arbitraria de espacio-tiempo, y sea$p \in M$. Suponer que$(U,\phi: U \to \mathbf{R}^{4})$y$(V,\psi: V \to \mathbf{R}^{4})$son dos cartas de coordenadas locales de$M$que satisfacen las dos propiedades siguientes:

• $p \in U \cap V$.
• Alquiler$\phi = (x^{0},x^{1},x^{2},x^{3})$y$\psi = (y^{0},y^{1},y^{2},y^{3})$, tenemos $$\forall a,b \in \{ 0,1,2,3 \}: \qquad g \! \left( \! \left. \frac{\partial}{\partial x^{a}} \right|_{p}, \left. \frac{\partial}{\partial x^{b}} \right|_{p} \right) = \eta_{a b} = g \! \left( \! \left. \frac{\partial}{\partial y^{a}} \right|_{p}, \left. \frac{\partial}{\partial y^{b}} \right|_{p} \right),$$ dónde$\eta_{a b}$denota el producto interno de Minkowski$\eta: \mathbf{R}^{4} \times \mathbf{R}^{4} \to \mathbf{R}$en forma de componente.

Dejar$X \in T_{p} M$, es decir,$X$se encuentra en el espacio tangente a$M$a$p$. Es un resultado básico de la geometría diferencial que$\left( \! \left. \dfrac{\partial}{\partial x^{a}} \right|_{p} \right)_{a = 0}^{3}$y$\left( \! \left. \dfrac{\partial}{\partial y^{b}} \right|_{p} \right)_{b = 0}^{3}$son bases ordenadas para$T_{p} M$, entonces existen escalares$\lambda^{0},\lambda^{1},\lambda^{2},\lambda^{3}$y$\mu^{0},\mu^{1},\mu^{2},\mu^{3}$tal que

$$\lambda^{a} \cdot \left. \frac{\partial}{\partial x^{a}} \right|_{p} = X = \mu^{b} \cdot \left. \frac{\partial}{\partial y^{b}} \right|_{p}.$$ Es más, $\mu^{b} = \lambda^{a} \left. \dfrac{\partial y^{b}}{\partial x^{a}} \right|_{p}$para cada $b \in \{ 0,1,2,3 \}$. Ahora, $$\begin{align} g(X,X) & = g \! \left( \lambda^{a} \cdot \left. \frac{\partial}{\partial x^{a}} \right|_{p}, \lambda^{b} \cdot \left. \frac{\partial}{\partial x^{b}} \right|_{p} \right) \\ & = \lambda^{a} \lambda^{b} g \! \left( \! \left. \frac{\partial}{\partial x^{a}} \right|_{p}, \left. \frac{\partial}{\partial x^{b}} \right|_{p} \right) \\ & = \eta_{a b} \lambda^{a} \lambda^{b}; \\ g(X,X) & = g \! \left( \mu^{a} \cdot \left. \frac{\partial}{\partial y^{a}} \right|_{p}, \mu^{b} \cdot \left. \frac{\partial}{\partial y^{b}} \right|_{p} \right) \\ & = \mu^{a} \mu^{b} g \! \left( \! \left. \frac{\partial}{\partial y^{a}} \right|_{p}, \left. \frac{\partial}{\partial y^{b}} \right|_{p} \right) \\ & = \eta_{a b} \mu^{a} \mu^{b}. \end{align}$$ Si $T: \mathbf{R}^{4} \to \mathbf{R}^{4}$denota el mapa lineal cuya representación matricial es $\left[ \! \left. \dfrac{\partial y^{b}}{\partial x^{a}} \right|_{p} \right]_{a,b = 0}^{3}$, después $$(\spadesuit) \qquad \eta(\mathbf{v},\mathbf{v}) = g(X,X) = \eta(T(\mathbf{v}),T(\mathbf{v})),$$ dónde $\mathbf{v} = (\lambda^{0},\lambda^{1},\lambda^{2},\lambda^{3})$y $T(\mathbf{v}) = (\mu^{0},\mu^{1},\mu^{2},\mu^{3})$. Sin embargo, $X$es un vector tangente arbitrario a $M$a $p$, entonces $(\spadesuit)$en realidad vale para todos $\mathbf{v} \in \mathbf{R}^{4}$. Por lo tanto, $T: \mathbf{R}^{4} \to \mathbf{R}^{4}$fija el origen y conserva los intervalos de espacio-tiempo, lo que automáticamente implica que $T$es una transformación de Lorentz en $\mathbf{R}^{4}$.

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Por lo tanto, las transformaciones de Lorentz pueden considerarse como transformaciones de coordenadas en un evento entre marcos de referencia inerciales locales.

Una técnica bien conocida es la aproximación post-Minkowskiana . Se aplica al límite de campo débil de la relatividad general, y la gravedad aparece como términos de corrección de la métrica de Minkowski en potencias de la constante gravitacional de Newton.$G$.

Si, además de las facultades de$G$, expandes la métrica en potencias de$\left( \dfrac{v}{c} \right)^{2}$(es decir, además de un campo gravitatorio débil, consideras la cámara lenta), llegarás al régimen post-newtoniano.

Otras respuestas ya han abordado la relación entre la Relatividad General y la métrica de Minkowski, pero parece que está más interesado en pasar de la métrica de Minkowski a la transformación de Lorentz. Así que hagamos eso.

Dado un conjunto de coordenadas en las que la métrica toma la forma estándar de Minkowski

$ds^2 = dt^2 - dx^2 - dy^2 - dz^2$

desea encontrar otro conjunto de coordenadas en el que la métrica también tome la misma forma

$ds^2 = d \bar{t}^2 - d \bar{x}^2 - d \bar{y}^2 - d \bar{z}^2$

Considere un impulso lineal a lo largo del eje x. Queremos elegir coordenadas tales que$\bar{x} = 0$dónde$x - vt = 0$; la solución general es:

$\bar{x} = \gamma(x - vt)$

$\bar{t} = at - bx$

donde$\gamma$,$a$, y$b$son desconocidos.

Entonces

$dt^2 - dx^2 = d\bar{t}^2 - d\bar{x}^2$

$= (a dt - b dx)^2 - \gamma^2 (dx - v dt)^2$

$= (a^2 - \gamma^2 v^2) dt^2 - (\gamma^2 - b^2) dx^2 + (\gamma^2 v - ab) dx dt$

asi que

$a^2 - \gamma^2 v^2 = 1$

$\gamma^2 - b^2 = 1$

$\gamma^2 v - ab = 0$

asi que

$a = \sqrt{1 + \gamma^2 v^2}$

$b = \sqrt{\gamma^2 - 1}$

asi que

$\gamma^2 v = \sqrt{\gamma^2 v^2 + 1} \sqrt{\gamma^2 - 1}$

$\implies \gamma^4 v^2 = (\gamma^2 v^2 + 1)(\gamma^2 - 1) = \gamma^4 v^2 + \gamma^2 - \gamma^2 v^2 - 1$

$\implies \gamma^2(1 - v^2) = 1$

$\implies \gamma = \sqrt{\frac{1}{1-v^2}}$

Calculando a y b (ejercicio dejado al lector) da$a = \gamma$y$b = \gamma v$, así que eso

$\bar{t} = \gamma(t - vx)$

completando la transformación de Lorentz como se esperaba.