Tiempo adecuado para un objeto que acelera

En relatividad especial, debe elegir como marco de referencia que es un marco inercial. En este marco inercial, puede considerar el movimiento de cualquier objeto, cualquiera que sea este movimiento (acelerado o no).

Deje que las coordenadas del objeto en movimiento, en relación con un marco de inercia$F$, ser$x$y$t$. Podemos considerar otro marco inicial$F'$, que coordenadas del objeto en movimiento, en relación con$F'$, son$x'$y$t'$

El corazón de la relatividad especial es que existe un invariante que es$c^2 dt^2 - \vec dx^2 = ds^2$. Esto significa que :$c^2 dt^2 - \vec {dx}^2 =ds^2= ds'^2 = c^2 dt'^2 - \vec {dx'}^2$. Todos los marcos inerciales, al mirar el objeto en movimiento, concuerdan en el mismo valor$ds^2$

Ahora, en algún instante$t_0$, siempre puede considerar un marco inercial$F'(t_0)$que tiene, en este instante, la misma velocidad que el objeto en movimiento, en relación con$F$. Por supuesto, tendrá un marco inercial diferente$F'(t)$por cada instante. Sin embargo, el punto clave es que la velocidad instantánea del objeto en movimiento en relación con$F'(t)$es cero, es decir, tienes$dx' =0$, por lo que puede escribir:$ds^2 = c^2 dt^2 - \vec {dx}^2 = ds'(t)^2=c^2dt'^2$

El tiempo$t'$definido de esta manera se llama el tiempo propio del objeto en movimiento, y se observa$\tau$($c^2 dt^2 - \vec {dx}^2 = c^2d\tau^2$). Representa el tiempo transcurrido para que un reloj se mueva con el objeto en movimiento.

Con su problema, tenga en cuenta que si toma la parametrización:

$$\left\{ \begin{array}{l l} ct= b ~sh (\frac{c \tau}{b}) \tag{1}\\ x= b ~ch (\frac{c \tau}{b}) \end{array}\right.$$ encontrará, con un poco de álgebra, que, primero, $x(t) = \sqrt{(b^2)+((ct)^2)}$, y en segundo lugar, que $c^2 dt^2 - \vec {dx}^2 = c^2d\tau^2$(Suponemos aquí $dy=dz=0$).

Entonces,$\tau$es el momento adecuado, que usted está buscando, y puede encontrar una expresión de$\tau$relativamente a$t$, invirtiendo la primera ecuación de la parametrización$(1)$:

$$\tau = \frac{b}{c}~Argsh (\frac{c t}{b}) \tag{2}$$

El tiempo propio está bien definido en SR, SR + aceleración y, de hecho, GR, y es invariable en los tres. En este caso, la invariancia del tiempo adecuado significa que solo puede usar el tiempo transcurrido para el observador en reposo.

La ecuación que le dieron es una versión apenas disfrazada de la ecuación del cohete relativista :

$$d(t) = \frac{c^2}{a} \left(\sqrt{1 + \left(\frac{at}{c}\right)^2} - 1 \right)$$

($c$es la velocidad de la luz aquí - no está claro si$c$significa la velocidad de la luz o simplemente una constante en la ecuación que le han dado). La derivación de la ecuación para el cohete relativista se da en Gravitation por Misner, Thorne y Wheeler, capítulo 6 .

El tiempo propio se define para una trayectoria temporal arbitraria$x^\mu(t)$y una métrica de espacio-tiempo arbitraria$g_{\mu\nu}(x)$por la fórmula

$$\tau=\int\sqrt{g_{\mu\nu}(x)\dot{x}^\mu\dot{x}^\nu} dt.$$ Recomendaría comparar esto con la fórmula general para la longitud de un camino curvo para tener la sensación de que esto es algo invariable y no depende de la elección de las coordenadas si la métrica se calcula correctamente en las nuevas coordenadas.