¿Cómo entender masas complejas de partículas inestables? El problema conceptual de calcular la tasa de decaimiento

Question

¿Cómo entender masas complejas de partículas inestables? El problema conceptual de calcular la tasa de decaimiento

Física
resonancia
números complejos
teoría de la matriz s
teoría cuántica de campos
funciones de correlación

Takumi Hayashi

Si una partícula tiene una masa compleja, $p^2-m^2=0$ lleva a $p^μ \notin \mathbb R^4$ . ¿Qué significa?

Cuando desee calcular los elementos de la matriz S del proceso de descomposición $\langle p_f,\ldots\mid p_i\rangle$ , calculas el $n$ función de correlación de puntos

⟨ 0 ∣ T φ (X_{1}) φ (X_{2}) \dots ∣ 0 ⟩

$\langle 0\mid Tφ(x_1)φ(x_2)\ldots\mid 0\rangle$ y utilizando la fórmula LSZ. La transformación de Fourier de la función de correlación tiene los polos en

p_{j}^{2} = m_{j}^{2}

$p_j^2=m_j^2$ ,porque incluye las amplitudes de polarización del vacío

= \frac{i}{{pag}_{j}^{2} - {metro}_{j}^{2} + O (({pag}_{j}^{2} - {metro}_{j}^{2})^{2})} \approx \frac{i}{{pag}_{i}^{2} - {metro}_{i}^{2}}

$= \frac i {p_j^2-m_j^2+O((p_j^2-m_j^2)^2)}\approx \frac i{p_i^2-m_i^2}$ en cada una de las patas externas en los diagramas. La fórmula LSZ dice que cuando multiplicas

Π_{j} (p_{j}^{2} - m_{j}^{2}) / i

$Π_j(p_j^2-m_j^2)/i$ y toma el limite

p_{j}^{2} \to m_{j}^{2}

$p_j^2→m_j^2$ , obtienes elementos de matriz S

⟨ p_{f}, \dots ∣ p_{i} ⟩

$\langle p_f,\ldots\mid p_i\rangle$ . Por lo tanto, es posible que sepa que debe considerar solo "diagramas amputados" cuando calcule la matriz S.

Sin embargo, más allá del nivel del árbol, la amplitud de polarización del vacío de la partícula inestable tiene el polo en un valor complejo pero no real. Esto significa en el límite de shell $p_i^2→m_i^2$ lleva a $p_i^\mu \notin \mathbb R^4$ . Por otro lado, si toma un límite como $p_i^2\to\operatorname{Re} m_i^2$ , no puede hacer la aproximación "amplitudes de polarización de vacío $\approx \frac i{p_i^2-m_i^2}$ ", porque $p_i^2$ está lejos del polo.

Después de todo, mi pregunta es cómo calcular correctamente las tasas de descomposición de las partículas inestables. ¿Puedo calcular los elementos de la matriz S calculando "diagramas amputados" como se hace habitualmente?

El problema relacionado se observa en el libro de texto de Srednicki en P.162 http://web.physics.ucsb.edu/~mark/qft.html
. Dijo que el estado de entrada y salida debe consistir en partículas de vida infinitamente larga. Pensó que las partículas inestables estaban presentes como estados intermedios y consideró la desintegración tardía como una cantidad relacionada con el ancho de resonancia. (p.165 (25.25))

F (mi) = \frac{1}{mi - {mi}_{0} + i Γ / 2} .

$f(E)=\frac{1}{E-E_0+iΓ/2}.$

Transformación de Fourier de $f(E)$ da $g(t)=\exp(iE_0t-Γt/2)$ , que parece algo que expresa decadencia. Quiero saber también el significado exacto de este procedimiento. (Al principio, consideré la evolución temporal de $|ψ\rangle = \int dE \, f(E)|E\rangle$ por la ecuación de Schrödinger, pero $|ψ(t)\rangle\neq g(t)|ψ(0)\rangle$ ).

Respuestas (1)

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Observador inercial · Answer 1

Discutiré esto en el contexto de la teoría de Yukawa y usaré la teoría de la perturbación renormalizada . La forma en que lo entiendo es esta.

Configuración : Considere el esquema de renormalización

ψ_{R} = \frac{1}{\sqrt{Z}} ψ_{0} {metro}_{R} = \frac{1}{Z_{metro}} {metro}_{0}

$\psi_R = \frac{1}{\sqrt{Z}}\psi_0 \\ m_R = \frac{1}{Z_m} m_0$

dónde $Z_i = 1 + \delta_i$ . Entonces el propagador renormalizado es.

{GRAMO}^{R} = \frac{1}{Z_{2}} {GRAMO}^{b a r mi} .

$G^R = \frac{1}{Z_2} G^{bare}.$

Ahora recuerda que sumando todas las inserciones de 1PI podemos escribir

i {GRAMO}^{b a r mi} = \frac{i}{⧸ pag - {metro}_{0} + Σ (⧸ pag)}

$iG^{bare} = \frac{i}{\not{p} - m_0 + \Sigma(\not{p})}$

dónde $\Sigma$ es la suma de todas las inserciones de 1PI. Ahora, podemos escribir $\Sigma = \Sigma_2 + {\cal O}(g^4)$ manteniendo sólo aquellas inserciones de orden inferiores a $g^4$ . Para que nuestro propagador renormalizado ordene $g^2$ es

{GRAMO}^{R} = \frac{1}{1 + d} \frac{i}{⧸ pag - {metro}_{0} + Σ_{2} (⧸ pag)} {GRAMO}^{R} = \frac{i}{⧸ pag - {metro}_{R} + Σ_{R} (⧸ pag)}

$G^R = \frac{1}{1+\delta}\frac{i}{\not{p} - m_0 + \Sigma_2(\not{p})} \\ \boxed{G^R= \frac{i}{\not{p} - m_R + \Sigma_R(\not{p})} }$

donde hemos definido

Σ_{R} = Σ_{2} + d ⧸ pag - (d + d_{metro}) {metro}_{R}

$\Sigma_R = \Sigma_2 + \delta \not{p} - (\delta + \delta_m)m_R$

Ahora, recuerda que definimos la masa física como el polo del propagador. Por lo tanto,

{metro}_{PAG} - {metro}_{R} + Σ_{R} ({metro}_{PAG}) = 0 .

$m_P - m_R + \Sigma_R(m_P) = 0 .$

Esto implica que

d_{metro} {metro}_{PAG} = Σ_{R} ({metro}_{PAG})

$\boxed{\delta_m m_P = \Sigma_R(m_P)}$

Tu pregunta: Déjanos llamar $\Sigma_2(\not{p}) = i\Delta m$ , anticipando que la corrección es puramente imaginaria. Entonces, nuestro propagador es

{\tilde{GRAMO}}^{R} = \frac{i}{⧸ pag - {metro}_{R} + i Δ metro}

$\tilde{G}^R= \frac{i}{\not{p} - m_R+ i\Delta m}$

donde ahora sabemos que nuestro propagador tiene un polo en $m_P$ .

Recuerde que la amplitud para que una partícula se propague desde $x$ a $y$ viene dada por la transformada de Fourier

D (X - y) = \int \frac{d^{4} pag}{(2 π)^{4}} \frac{i}{⧸ pag - {metro}_{R} + i Δ metro} {mi}^{- i pag (X - y)}

$D(x-y) = \int \frac{d^4p}{(2\pi)^4} \frac{i}{\not{p} - m_R + i\Delta m}e^{-ip(x-y)}$

Para facilitar las cosas supongamos que y=0. Entonces nosotros tenemos

D (X) = \int \frac{d^{4} pag}{(2 π)^{4}} \frac{i}{⧸ pag - {metro}_{R} + i Δ metro} {mi}^{i pag \cdot X} {mi}^{- i mi t}

$D(x) = \int \frac{d^4p}{(2\pi)^4} \frac{i}{\not{p} - m_R+ i\Delta m}e^{i\mathbf{p\cdot x}}e^{-iEt}$

Dónde $E = \sqrt{p^2 + m_{rest}^2}$ . ¿Cuál es la masa de la partícula en su marco de reposo? Bueno, por definición, ¡es el polo del propagador! Y así podemos reemplazar

mi = \sqrt{{pag}^{2} + ({metro}_{R} - i Δ metro)^{2}} = \sqrt[4]{{(- {Δ metro}^{2} + {metro}^{2} + {pag}^{2})}^{2} + 4 {Δ metro}^{2} {metro}^{2}} (i pecado (\frac{ϕ}{2}) + porque (\frac{ϕ}{2})) mi \equiv ξ (i pecado (\frac{ϕ}{2}) + porque (\frac{ϕ}{2}))

$E = \sqrt{p^2 + (m_R - i \Delta m)^2} \\ =\sqrt[4]{\left(-{\Delta m}^2+m^2+p^2\right)^2+4 {\Delta m}^2 m^2} \left(i \sin \left(\frac{\phi}{2}\right)+\cos \left(\frac{\phi}{2}\right)\right)\\ \boxed{E \equiv \xi \left(i \sin \left(\frac{\phi}{2}\right)+\cos \left(\frac{\phi}{2}\right)\right) }$

dónde $\phi$ es el $\mathrm{Arg}$ del radicando. Finalmente, obtenemos que

D (X) = \int \frac{d^{4} pag}{(2 π)^{4}} \frac{i {mi}^{i pag \cdot X} {mi}^{- i ξ porque (\frac{ϕ}{2}) t}}{⧸ pag - {metro}_{R} + i Δ metro} {mi}^{- ξ pecado (\frac{ϕ}{2}) t}

$\boxed{D(x) = \int \frac{d^4p}{(2\pi)^4} \frac{ie^{i\mathbf{p\cdot x}} e^{-i\xi\cos(\frac{\phi}{2}) t}}{\not{p} - m_R+ i\Delta m}e^{-\xi\sin(\frac{\phi}{2}) t}}$

y así vemos que, de hecho, la probabilidad de que exista una partícula a la vez $t$ decae exponencialmente.

¡Gracias por responder mis preguntas! Entiendo claramente cómo interpretar las tasas de descomposición. D(yx)=<0|Tφ(y)φ(x)|0>=< $y_i|exp(-iH(y_0-x_0)|x_i$ >, por lo tanto, la amplitud de probabilidad del estado disminuirá exponencialmente a medida que pase el tiempo según su cálculo. No supuse que la transformación de Fourier de f(E) apareciera en el cálculo de D(yx) de $\tilde G^R(p)$ . ¡Agradezco mucho tu respuesta!

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