¿Cómo entender los números que se vuelven realmente grandes?

He revisado un poco mi respuesta, condensando en algunos lugares y agregando otras ideas, en respuesta a su revisión de su pregunta.

Considere primero, los números que involucran un "cambio conceptual" como se alude en la cita de Hofstadter. Es posible que se queje de que, si bien puede haber al menos 300 de algo ( por ejemplo,  marcas de círculos huecos), hasta donde sabemos, nunca puede haber 10 ^{300 medibles.}de nada. Concedamos por el bien del argumento que la última afirmación es cierta. Todo esto significa precisamente lo que se enseña implícitamente a los estudiantes de física en la escuela secundaria: que tenemos modelos matemáticos del mundo que, por ser simples, no logran captar las complicaciones que son inherentes al mundo. Así como contemplamos vacas esféricas perfectamente rígidas que caen en el vacío bajo la influencia de un campo gravitatorio perfectamente uniforme, podemos concebir una cantidad de objetos que es tan grande que no podemos imaginarnos concretamente cómo sería tal colección de objetos. y que es poco probable que representen fenómenos que alguna vez encontraremos. La razón de ambas se debe a la simple formulación de los modelos en ambos casos: la mecánica newtoniana por un lado, la aritmética por el otro.

La noción de acumular capas de cambios conceptuales, como sugiere Michael Dorfman en los comentarios a su propia respuesta, es similar a la notación de flecha hacia arriba de Knuth . Pero el quid de esto, e incluso de nuestro familiar sistema de numeración indoárabe, es que solo tratamos con números a través de representaciones de ellos (incluso si esas representaciones son a través de imágenes visuales de objetos como manzanas). Un googol es, en términos prácticos muy toscos, inimaginablemente grande (en el sentido de que un googol de objetos no es algo que uno pueda realmente imaginar), y un googolplex es inimaginablemente más grande que eso (en el sentido de que no es realmente posible imaginar cuántas cajas de cada uno de los objetos de googol sería suficiente para hacer un googolplex). Pero el hecho de que podamos representarlos por 10 ^{10 2} y 10^{10 10 2} significa que todavía podemos hablar de ellos y, de alguna manera, concebir los números de manera abstracta.

Ser capaz de escribir números tan absurdamente grandes de esa manera es hacer trampa: ¿oculta el hecho de que no podemos asimilar completamente el significado de estos números, de alguna manera? Bueno, sí, tal vez oculta el hecho de que realmente no entendemos estos números excepto para recitar sus nombres, para señalar cosas trilladas como que son múltiplos de 2 y 5, y son cuadrados perfectos, etc. Pero esto es no hacer trampa; también entendemos números como el 300 con menos perfección que el número 3, y usamos la misma extensión de nuestros poderes cognitivos para tratar de entender el 300 imaginando tres grupos de diez grupos de diez. Casi todas las matemáticas, incluso la aritmética, son indirectas a este respecto, y aunque algunas personas pueden comprender más números de forma un tanto directa, en última instancia confiamos endescripciones muy comprimidas de números para razonar acerca de la cantidad. Como tal, estamos limitados en nuestra contemplación de los números a aquellos que podemos describir fácilmente de alguna manera ; y solo podemos razonar acerca de esos números tan bien como lo permitan nuestras representaciones. La multiplicación era difícil en la antigüedad para quienes dependían de los números romanos; y, de manera similar, nuestra representación de un googolplex nos da poca intuición sobre, por ejemplo  , cuál es el siguiente número primo más grande después de un googolplex.

Al igual que con la biblioteca de Borge, "la mayoría" de los números no tienen una representación simple; e incluso aquellos que lo hacen pueden tener representaciones superficialmente similares que los hacen difíciles de distinguir significativamente. De hecho, si una representación 'simple' tiene que ser como máximo de cierta longitud, entonces todos los números, excepto un número finito, están más allá de la capacidad humana de razonar. ¿Significa esto que escapan a la lógica? Bueno, ciertamente significa que no podemos razonar con ellos; pero también significa que nunca tendremos que preocuparnos (o, más concretamente, no podemos preocuparnos) por sus propiedades de forma productiva. Nuevamente, como con los libros en la biblioteca de Borge, la mayoría de los números son galimatías ; no tienen ninguna importancia particular para nosotros.

Si supones que la 'lógica' es una preocupación humana sobre la estructura del mundo, y que la realidad simplemente 'es', entonces preocuparse por la falta de lógica potencial de los números que son tan grandes que no pueden representarse en la realidad es preocuparse por una contrafactual, y por lo tanto no tiene ninguna importancia excepto cuánto nos entretiene la pregunta.

Voy a establecer una forma más precisa de esta pregunta después de corresponder fuera de línea con el OP. Espero que esto todavía capte la intención de la pregunta:

En un mundo perfecto, donde nunca envejeceré ni pasaré hambre, estoy viendo una pantalla de computadora gigante con espacio suficiente para mostrar billones, cuatrillones o incluso centillones de caracteres o dígitos.

He configurado la computadora para que muestre "1" por un momento, luego "10" por un momento, y luego "100", y luego "1000", y así sucesivamente. Cada momento (quizás una vez por segundo) aparece otro 0. Cada vez que aparece un 0, se muestra un nuevo número.

¿Puedo ver esto "para siempre" y percibir un nuevo número cada vez que se agrega un 0? ¿O hay un límite para mi capacidad de percibir, comprender o recordar lo que estoy viendo? ¿Hasta qué punto esto limita la forma en que nosotros, como humanos, podemos entender los números y los sistemas numéricos?

Creo que hay un límite en la capacidad de los seres humanos para percibir, comprender lo que están viendo y recordar lo que han visto.

Cada vez que aparece un nuevo "0", es claramente diferente al que había hace un momento. También sé que cada número que veo es diferente de cada uno de los números que vi antes. Pero a medida que pasa el tiempo, experimentaré repetidamente la sensación de "lo que estoy viendo es muy grande y lo he estado viendo durante mucho, mucho tiempo". Ese sentimiento será cada vez más común a medida que pase el tiempo, y eventualmente estaré exactamente en el mismo estado mental en el que estaba en algún momento anterior.

Supongamos que intento llevar la cuenta de cuántos ceros hay. Puedo entrenarme para recordar muchos hechos, cosas que se pueden escribir con letras y palabras.

La mente puede recordar mucha información. Tal vez tenga suficiente espacio en su mente, que si estuviera todo escrito, tomaría mil millones = 10 ^ 9 letras. Eso significa que puede tener alrededor de 26 ^ (10 ^ 9) estados mentales distintos, porque hay muchas combinaciones diferentes de mil millones de letras con un alfabeto de 26 letras.

Con mi capacidad mental de 26 ^ (10 ^ 9), estoy "contando" los 0 a medida que se muestran, y los sigo con mi estado mental. Cuando hay 876 ceros, tengo el número "876" en mi mente. Hay alrededor de 10 ^ 3 ceros en la enorme pantalla de la computadora y 3 dígitos en mi mente. Dado que puedo tener "alrededor de mil millones de letras" en mi mente, eso significa que puedo "contar" los 0 hasta que haya alrededor de 26 ^ (10 ^ 9) ceros en la pantalla. Entonces, debido a la capacidad limitada de mi mente, debo perder la cuenta. Más allá de eso, cualquier percepción de qué tan grande es exactamente el número debe ser subjetiva. Eventualmente tendré el mismo estado mental "realmente grande" dos veces. El número más grande que puedo comprender, sin confundirme con otro número, es menor que 10^(26^(10^9)).

Esto es como el "Teorema de recurrencia de Poincaré" al que se vinculó el OP, aplicado a las mentes. Es uno de los límites naturales que afectan qué tan bien podemos pensar acerca de los números grandes. No hablo del teorema literal de Poincaré, que es muy preciso y matemático. Simplemente lo uso como una metáfora: si un campo tiene un tamaño finito limitado, y caminas por el campo indefinidamente, eventualmente pisarás un lugar donde has pisado antes.

En nuestra discusión fuera de línea, el OP sugirió que podemos obtener números más grandes programando la computadora para mostrar 2, luego 2 ^ 2, luego 2 ^ 2 ^ 2, luego 2 ^ 2 ^ 2 ^ 2, o (usando palabras) podría mostrar "zwei", luego "zweizenzic", luego "zweizenzizenzic", y así sucesivamente (consulte http://en.wikipedia.org/wiki/Zenzizenzizenzic ). La pantalla se llena con 2 o con las letras "zenzi". Una vez más, llegará un punto en el que ya no podré ver que nada cambie, o tal vez lo vea cambiar, pero mi estado de ánimo finalmente regresará a un punto en el que estaba en algún momento anterior. Sé que se está haciendo más grande a cada momento, pero incluso ese estado de conocimiento eventualmente se repetirá exactamente de la misma forma.

Podemos hacer lo mismo con cualquier notación matemática, como g(1), g(g(1)), g(g(g(1))), ... donde g(N) es la " función g " descrito en la página "Graham's_number" de wikipedia. Esta vez, en lugar de elevar al cuadrado cada vez, los números se hacen más grandes de una manera mucho más rápida. Tal vez me he entrenado para entender lo que esto significa. Si es así, podría ver la pantalla de la computadora mostrar "g(1)", luego "g(g(1))", luego "g(g(g(1)))", y así sucesivamente... pero de nuevo, eventualmente mi mente llegaría a su "recurrencia de Poincaré".

Ninguna cantidad de esfuerzo que utilice una notación más sofisticada o elaborada, o métodos de abstracción y comprensión, superará el límite finito de la mente humana para percibir, comprender y recordar.

Todo esto es muy similar a lo que trata mi "Superclase 6", cerca del final de mi discusión sobre números grandes: http://www.mrob.com/pub/math/largenum-4.html#superclass

EDITAR : agregué una analogía simple para la referencia de "Poincaré" y señalé que el teorema matemático de Poincaré no es relevante. Se trata del concepto de volver a visitar el mismo lugar en un espacio finito.

Se agregó el bit "Hasta qué punto..." al final de la reformulación para tratar de abarcar más de la pregunta original.

Su experimento mental tiene una respuesta simple: no es un número hasta que quita el pulgar del teclado. Hasta entonces es solo una cadena de dígitos. La ubicación del "1" (y por lo tanto su significado) no puede interpretarse hasta entonces.

Tenga en cuenta que esto es diferente al caso en el que está escribiendo un lugar decimal; en ese caso, la serie de dígitos en curso sirve como una aproximación del número deseado, porque cada dígito permanece en su lugar apropiado.

El punto que quiero aclarar es ¿qué quiere decir Mahmud con Número? ¿Se refiere a los números enteros usuales con sus propiedades aritméticas?

es decir (N,+) que es N=0,1,2,3,4,... con suma como la operación permitida. Esta es la aritmética más antigua que conocemos en la escuela.

Luego se nos dice que podemos tener (N,+,x) que es N=0,1,2,3,... con operaciones de suma y multiplicación.

Se entendió mucho más tarde, o quizás mucho antes (cuando se inventó el sistema decimal en India y antes en China) que la representación de los números enteros no tiene que estar en base 10, podría estar en base 3, o 123, o más comúnmente ahora, pero escondido de nosotros en la base 2. es decir, 0,1,10,11,100,...

Es decir, la representación de un número entero no es el número entero en sí.

Aunque he dicho que (N,+) es el primer sistema numérico que se nos presenta, de hecho esto no es del todo correcto. Los bebés a los seis meses pueden distinguir números muy pequeños (KHH). (Su experimento distingue cuidadosamente un grupo de dos manzanas y tres manzanas como un acto de nombrar , para comprender 1, 2 o 3). Entonces es cuando empiezan a apreciar el N=0,1,2,3 truncado.

Pero Número es también Cantidad, es decir tiene magnitud; ¿Cuándo adquieren los bebés este conocimiento?

Según (MLF) adquieren este conocimiento cuando tienen cuatro años. (Personalmente, creo que su metodología es defectuosa; descartan la capacidad de los bebés para distinguir sobre la base de la longitud, que también es pura magnitud, y dada la relación entre los números y la geometría, la línea real, tiene mucho sentido. Sospecho que la capacidad de distinguir viene mucho antes que esto, un bebé de menos de cuatro años seguramente puede distinguir cuál prefiere: dos dulces o cuatro dulces. No necesitan contar formalmente, simplemente pueden ver la diferencia de magnitud; y yo no No creo que esto deba descartarse, o al menos distinguirse)

Así que nuestra primera comprensión preescolar es N, y luego a (N,<).

Ahora bien, Cantor generalizó Número en este sentido, el sentido de magnitud, es decir, extendió (N,<) a conjuntos y, por lo tanto, inventó los cardinales. Que haya una especie de aritmática de cardenales es un subproducto. Entonces, para comprender los números grandes , nos adentramos en el llamado reino transinfinito .

Pero los teóricos de conjuntos modernos han inventado grandes axiomas cardinales, y pueden ordenarse por fuerza de consistencia. Hasta el momento, no existe una teoría generalmente aceptada de cardenales grandes, aunque Shelah especula que "nuestra visión es más uniforme de lo que sospechamos".

Supongo que hay menos de cien o así, ordenados, así que en cierto sentido volvemos al principio cuando con un año de edad podíamos contar hasta, digamos cien... (quizás un ejemplo del eterno retorno de Nietsche en el reino platónico).

Estoy ofreciendo una perspectiva diferente a lo que entiendo que algunos de los carteles están haciendo aquí, que es discutir formas compactas de representar números 'grandes' tomados del reino finito (que es una cuestión de notación), y lo que pueden significar si no podemos expresarlos concretamente. es decir, como un montón de manzanas. Tal vez esto no responda la pregunta de Mahmud en sus propios términos...

notas

KHH: Kobayashi T, Hiraki K, Hasegawa T. Emparejamiento intermodal auditivo-visual de pequeñas numerosidades en bebés de 6 meses.

XA: Xu F, Arriaga RI. Discriminación numérica en bebés de 10 meses

FML: Muldoon K, Lewis C, Francis B. Uso de la cardinalidad para comparar cantidades

Todo en conocimiento numérico en la primera infancia, Catherine Sophian, PhD

El cerebro humano es finito en su capacidad para comprimir y abstraer números. He trabajado un poco con ordinales grandes, pero aunque tengo buenas intuiciones, se complican los Googols, Googolplexes, la función de Ackermann aplicada a argumentos mayores de 6, el ordinal de Graham y similares. Hay algunas formas de codificar notacionalmente números increíblemente grandes en cadenas muy cortas, pero en realidad no ayudan, porque esas son algunas fórmulas encantadoramente cortas y, por lo tanto, confusas.

Los humanos están hechos de cerebros, los cerebros son finitos, hay un número más grande que la mente humana es capaz de imaginar en su extensión QED.

PD. Los números realmente grandes ni siquiera son tan interesantes en mi humilde opinión.