Quizás mejor, ¿hay una versión accesible de los Principia? Estoy buscando un resumen que resuma y aclare el razonamiento de Russell detrás de su famosa conclusión de que 1 + 1 = 2.
Para una exposición introductoria, puede consultar: Richard Zach, Principia Mathematica and the Development of Logic (2010).
Una exposición más detallada se encuentra en: Ivor Grattan-Guinness, The Search for Mathematical Roots, 1870-1940 , Princeton UP (2000), Ch.7 .
El problema es que la prueba "estándar" de 1+1=2 de los axiomas de Peano es bastante simple: necesita muy pocas líneas que comiencen con la definición de 1 y 2 y el axioma para + .
En PM , en cambio, los axiomas de Peano se derivan de principios y definiciones más básicos, y esto es mucho más largo.
Como puede ver en la reimpresión de los primeros capítulos: Alfred North Whitehead & Bertrand Russell, Principia Mathematica to #56 , Cambridge UP (2nd ed 1927), la definición de 1 está en la página 345: Def 52.01 .
La definición per se es bastante simple:
1 = la clase de todas las clases α tales que α = { x } para alguna x (Def).
{x} es un singleton , es decir, una clase con el único elemento x . Por lo tanto, 1 se define como la clase de todas las clases con exactamente un miembro.
El primer resultado que se demuestra es:
52.1 una clase α ∈ 1 iff α = { x } para alguna x .
Como puedes ver, el nivel de detalles es muy alto.
Luego tenemos (página 358) las definiciones de 0 y 2 ; de ellos se prueban varios resultados adicionales:
54.101 una clase α ∈ 2 si y si hay x,y tales que x≠y y α = { x } ∪ { y } .
54.102 una clase α ∈ 0 si y sólo si α es la clase vacía.
Finalmente (página 360) llegamos a:
54.43 si las clases α, β ∈ 1 , entonces α ∩ β está vacía si y sólo si α ∪ β ∈ 2 .
De esta proposición se seguirá, una vez definida la suma aritmética [énfasis añadido], que 1 + 1 = 2 .
Aqui no
franco hubeny
Marcos Andrews
Marcas.