Una de las tendencias modernas entre los filósofos matemáticos ha sido la aplicación de fundamentos categóricos a la lógica. Lawvere es probablemente el más conocido por su uso de categorías cartesianas cerradas en las diversas paradojas. ( fuente )
¿Ha habido críticas notables a las teorías de Lawvere desde una perspectiva filosófica?
No sé mucho sobre el debate, pero sé que, por ejemplo, Solomon Feferman ha escrito un par de artículos sobre este tema, por ejemplo, "Fundamentos categóricos y los fundamentos de la teoría de categorías". John Bell también ha examinado este tema críticamente en "Teoría de categorías y los fundamentos de las matemáticas".
Mejor aún, estoy seguro de que puedes encontrar más en la sección de bibliografía de la entrada de la SEP sobre teoría de categorías .
Ha habido muchas críticas feroces por parte de los teóricos de los conjuntos, quizás generando más calor que luz, ya que consideran que los fundamentos categóricos se entrometen en su propio territorio.
La mayoría de los filósofos interesados en las fundaciones están educados en fundaciones al estilo ZFC. La Teoría de categorías no ha hecho muchos avances aquí, pero esto probablemente cambiará en el futuro, ya que la importancia de la Teoría de categorías como un dispositivo estructurador en matemáticas solo se ha vuelto más pronunciada, y a medida que más filósofos se educan en la Teoría de categorías.
Si bien ZFC generalmente se enseña en el primer año de un curso de pregrado, solo se obtiene una apreciación de la vista categórica después de que se haya absorbido una cantidad sustancial de matemáticas sofisticadas, digamos al final del primer año de un curso de posgrado.
Lawvere ciertamente ha hecho un gran trabajo en fundamentos categóricos, pero el concepto clave es el de un Topos , que es una Teoría de Conjuntos generalizada, que tiene una lógica implícita ligada a ella (a través de su lenguaje interno, que suele ser alguna forma de teoría de tipos). ) e interpretación geométrica (a través de poleas).
Una observación importante es que la lógica no es booleana sino intuicionista, que no siempre se cumple el Axioma de Elección y que no necesariamente tienen un objeto infinito. Cuando estos se afirman, entonces, por supuesto, tenemos un topos mucho más parecido a un conjunto. Por supuesto, hay un gran zoológico de toposes en lugar del ZFC único que uno supone que tiene.
El n-lab, un repositorio de trabajo teórico de categorías realizado por teóricos de categorías de dimensiones superiores, tiene una referencia en Fundamentos .
Uno supondría que la escuela filosófica conocida como Estructuralismo tendría mucho que decir acerca de la Teoría de Categorías como Estructura, una noción que impregna ambos campos. Pero el estructuralismo está más asociado con la arquitectura, la lingüística (su hogar original), los estudios literarios y la antropología que con las matemáticas, por lo que la superposición esencial entre los dos campos es en realidad cero.
Mientras que ZFC es el juego final del reduccionismo en matemáticas: reducir todas las matemáticas a conjuntos y luego conjuntos a lógica + axiomas; La Teoría de Categorías considera que cada actividad matemática tiene su hogar natural, su propio lugar - en lugar de una visión marcadamente jerárquica mira hacia una visión más expansiva relacional, intrínseca y natural - no es descartiana.
El documento al que se refiere es matemática propiamente dicha en lugar de filosofía: la similitud estructural de ciertos argumentos en las paradojas que Lawvere vuelve a examinar ya se había señalado y generalmente se lo denomina argumento diagonal en honor al primer uso de este tipo de argumento de Cantor. para mostrar que el continuo tenía una cardinalidad mayor que los números enteros. Después de la invención de la teoría de categorías por parte de Maclane, fue posible colocar estos argumentos en una gran cantidad de contextos diferentes en un formato sistemático.
El uso de categorías cartesianas cerradas probablemente también sea una pista falsa: esencialmente, estas son categorías en las que la noción de exponencial ocurre naturalmente y satisface las leyes habituales. Dada la prevalencia de la exponencial en las matemáticas ordinarias, parecería 'obvio' que la misma noción sería igualmente útil en contextos más generales donde se hacen matemáticas, como la categoría de grupos o de anillos, etc. Este ha resultado ser el caso. A partir de ahí, es solo un paso para investigar qué tipo de bestia es una categoría cerrada cartesiana. No es realmente, creo, una cuestión fundamental.
hombre de las cavernas inteligentes