¿Cómo encuentro las componentes lineales de la aceleración en un péndulo?

Question

¿Cómo encuentro las componentes lineales de la aceleración en un péndulo?

andreas c

Logré derivar la ecuación de movimiento de un péndulo simple bajo la influencia de la gravedad usando el Lagrangiano, pero como eso solo me dice cuál es la aceleración angular, ahora quiero derivar la $x$ y $y$ Componentes de la aceleración. La fórmula que he obtenido es la siguiente:

\ddot{θ} = - (gramo / yo) pecado θ

$\ddot θ = -(g/l)\sinθ$

Y el $x$ y $y$ son estos:

X = yo pecado θ

$x = l\sinθ$

y = yo (1 - porque θ)

$y = l(1-\cosθ)$

Así que ahora no estoy seguro de qué hacer a continuación... ¿Uso la regla de la cadena y diferencio $x$ y $y$ con respecto al tiempo dos veces? Realmente no sé qué hacer aquí...

Si puede, déme una pista en lugar de una solución completa y, si es posible, aténgase a estas fórmulas y ecuaciones de Euler-Lagrange, en lugar de una solución que incorpore algo que no esté directamente relacionado.

Ladrillo Cuántico

En lugar de escribir la parametrización lagrangiana en función de

θ

$\theta$ , intente escribirlo en términos de coordenadas cartesianas

x

$x$ y

y

$y$ . Las ecuaciones EL te darán la aceleración a lo largo de cada eje. Otra forma de hacerlo es reescribir

l

$l$ y

θ

$\theta$ en términos de

x

$x$ y

y

$y$ .

andreas c

Hmm... ¿Cómo reescribiría l en términos de xey, ya que l es una constante independiente de xey? Intentaré determinar el Lagrangiano como dijiste para ver si funciona.

Ladrillo Cuántico

Mira de nuevo las fórmulas que escribiste. Recuerda que en coordenadas cartesianas

L = \frac{1}{2} m ({\dot{x}}^{2} + {\dot{y}}^{2}) - V (x, y)

$L = \frac{1}{2} m(\dot{x}^2 + \dot{y}^2) - V(x,y)$ .

andreas c

Sí, y V=mgy. Cuando trato de encontrar la derivada parcial de L con respecto a x, es solo 0, y de las ecuaciones EL se deduce que la componente x de la aceleración también es 0, pero eso no tiene mucho sentido, ¿verdad?

Respuestas (2)

¿Cómo encuentro las componentes lineales de la aceleración en un péndulo?

En lugar de escribir la parametrización lagrangiana en función de $\theta$ , intente escribirlo en términos de coordenadas cartesianas $x$ y $y$ . Las ecuaciones EL te darán la aceleración a lo largo de cada eje. Otra forma de hacerlo es reescribir $l$ y $\theta$ en términos de $x$ y $y$ .
Hmm... ¿Cómo reescribiría l en términos de xey, ya que l es una constante independiente de xey? Intentaré determinar el Lagrangiano como dijiste para ver si funciona.
Mira de nuevo las fórmulas que escribiste. Recuerda que en coordenadas cartesianas $L = \frac{1}{2} m(\dot{x}^2 + \dot{y}^2) - V(x,y)$ .
Sí, y V=mgy. Cuando trato de encontrar la derivada parcial de L con respecto a x, es solo 0, y de las ecuaciones EL se deduce que la componente x de la aceleración también es 0, pero eso no tiene mucho sentido, ¿verdad?

Juan Alexiou · Answer 1

Todo es función del ángulo. $\theta$ y sus derivados $\dot{\theta}$ y $\ddot{\theta}$ . A partir de ahí usa la regla de la cadena de diferenciación.

\begin{aligned} X & = ℓ pecado θ & y & = ℓ (1 - porque θ) \\ \dot{X} & = ℓ \dot{θ} porque θ & y & = ℓ \dot{θ} pecado θ \\ \ddot{X} & = ℓ \ddot{θ} porque θ - ℓ {\dot{θ}}^{2} pecado θ & \ddot{y} & = ℓ \ddot{θ} pecado θ + ℓ {\dot{θ}}^{2} porque θ \end{aligned}

$\begin{align} x & = \ell \sin \theta & y & = \ell (1-\cos \theta) \\ \dot{x} & = \ell \dot{\theta} \cos \theta & y & = \ell \dot{\theta} \sin \theta \\ \ddot{x} & = \ell \ddot{\theta} \cos\theta -\ell \dot{\theta}^2 \sin\theta & \ddot{y} & = \ell \ddot{\theta} \sin \theta + \ell \dot{\theta}^2 \cos\theta \end{align}$

¡Gracias, no fue tan complicado después de todo! ¡Tiene perfecto sentido ahora!
Además, para encontrar la velocidad angular, solo integro la aceleración angular una vez con respecto al tiempo. Una de las fronteras (o límites, no sé cómo se les llama en inglés) de esa integración será la amplitud. ¿Cuál será el otro? ¿La fase?

Valerio · Answer 2

Como notaron, si usamos la ecuación de Euler-Lagrange en $L= \frac 1 2 (\dot x^2 + \dot y^2) -mgy$ obtenemos

\ddot{X} = 0

$\ddot x=0$

\ddot{y} = - gramo

$\ddot y = -g$

Claramente falta algo: la gravedad no es la única fuerza que actúa sobre nuestra masa: tenemos que tener en cuenta la tensión de la varilla/cuerda. Pero, ¿por qué no sale de las ecuaciones?

El punto es que el sistema solo tiene un grado de libertad: $\theta$ . si usamos $x$ y $y$ estamos usando el formalismo lagrangiano como si tuviera dos. Pero no es así: se quita un grado de libertad de la restricción $x^2+y^2=l^2$ . Entonces, la formulación habitual de la ecuación EL no funcionará correctamente.

Esta fue la pista. Si desea la solución, la encontrará aquí: http://farside.ph.utexas.edu/teaching/336k/Newtonhtml/node90.html

Huh... Ok, eso tiene mucho sentido, gracias. Ahora sé que usar el Lagrangiano así no es la respuesta. Sin embargo, no quiero una solución completa, y todavía no sé por dónde empezar... Hmmm... Pensé en diferenciar x e y dos veces con respecto al tiempo, pero no estoy seguro de cómo hacerlo. eso...
si quieres el $x$ y $y$ componentes de la aceleración sin usar ecuaciones EL y no en función de $\theta$ , puedes intentar diferenciar el doble de la expresión que escribiste con respecto al tiempo y luego sustituir en la expresión final $\theta = \arctan(x/y)$ .
Ah, pero eso es lo que quiero hacer, es solo que no sé cómo diferenciar l*sinθ con respecto al tiempo... Además, si obtengo las componentes x e y de la aceleración como funciones de θ, bueno, eso es por mi bien, es solo que yo tampoco se como hacer eso!
¡Ah vale! Pensé que sabías cómo hacer eso y estabas intentando algo un poco más complicado... ;-)
Ah, no... Me acabo de dar cuenta de cómo hacerlo, está bien ahora. Ahora todo lo que queda es encontrar θ en función del tiempo, pero creo que sé cómo hacerlo.

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Ladrillo Cuántico

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