¿Cómo encuentro la energía cinética promedio y la energía potencial promedio de un electrón de hidrógeno en el estado fundamental?

¿Cómo encuentro la energía cinética promedio y la energía potencial promedio de un electrón de hidrógeno en el estado fundamental?

En mi clase de física moderna, estamos terminando la ecuación de Schrödinger en 3D y estoy más que un poco perdido. Hace algunos capítulos, aprendimos sobre los operadores y tengo una ecuación para ambas cosas en 1D . Parece que

⟨ k ⟩ = ∫ ψ k ψ d X ,
dónde
k = − h 2 2 metro ∂ 2 ∂ X 2 .

Entonces,

  • ¿Cómo hago para que funcione en 3D? ¿Es eso lo que quiero hacer aquí?
Sí, necesitas hacer esa integral, pero el operador ke en 3d implica ∇ 2 en lugar de solo una derivada de x
Estás en el camino correcto. ¿Por qué no simplemente lanzarse al cálculo construyendo sus operadores a partir de sus análogos clásicos? A veces es útil agitarse y fallar unas cuantas veces en el proceso de aprendizaje.
@Ashley Creo que tiene que ser un ℏ en la definición de k a menos que estés trabajando con unidades divertidas. Tu puedes cambiar h a ℏ escribiendo \hbaren lugar de h.
Además ⟨ k ⟩ = ∫ ψ k ψ d X debería haber sido ⟨ k ⟩ = ∫ ψ ∗ k ψ d X también puede cambiar eso cambiando \int \psi K \psia\int \psi^* K \psi

Respuestas (3)

Un método es usar/probar el teorema del virial : para un potencial de la forma V ( r ) ∝ r pag (para el átomo de hidrógeno, pag = − 1 ),

⟨ T ⟩ norte = pag 2 ⟨ V ⟩ norte
Para el norte -ésimo estado propio de energía.

Use esto, junto con

mi norte = ⟨ mi ⟩ norte = ⟨ T ⟩ norte + ⟨ V ⟩ norte
y
mi norte = mi 1 norte 2 ,           mi 1 = − 1 2 α 2 metro mi C 2 = − 13.6   mi V .

No quiero estropearte la belleza de 3D QM, especialmente si quieres explorarlo por tu cuenta. Sin embargo, pensé en darte algunos consejos sobre cómo abordar la transición de 1D a 3D.

Teniendo en cuenta 1D QM, en primer lugar, piense en lo que significa estar en el eje x. ¿Quién debe decidir qué eje es x y qué eje es el eje y o z para el caso? Esto significa que tiene que haber una simetría entre estos ejes, es decir. el operador k no puede ser un operador como k = X ^ + y ^ 2 si hay ese tipo de simetría entre el eje. Además, el operador 3D k debe reducirse al operador 1D que ha proporcionado anteriormente si considera que el operador 3D es 1D. Tenga en cuenta también que su ecuación tiene que ser dimensionalmente consistente.

El valor esperado de este operador también es muy sencillo. Solo hay que ajustar algo en la integral y listo.

Si desea una explicación más detallada, indíquelo en los comentarios y editaré mi respuesta o responderé su pregunta en la sección de comentarios en consecuencia.

También puede usar que el cambio en el valor propio de la energía debido a una perturbación de primer orden es el valor esperado de la perturbación en el estado no perturbado. Si multiplicas el término de energía cinética por λ y el término de energía potencial por m , tiene esencialmente el mismo hamiltoniano, por lo que puede escribir la energía del estado fundamental sin mucho esfuerzo. Los derivados wrt λ y m luego le dará los dos valores esperados deseados.

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