Del grupo de simetría a las ecuaciones físicas

En la medida en que yo sepa:

Hay grupos de simetría como los grupos de rotación SO(3), los Grupos de Transformaciones de Poincaré,... Si la física de un sistema tiene un grupo de simetría G, entonces se puede describir mediante una representación de G y el espacio vectorial sobre el que se actúa. .

Corrígeme si estoy equivocado.

Si no estoy tan equivocado, quiero saber un ejemplo más simple de cómo podemos interpretar la física de este sistema estudiando las propiedades de la representación de G. (porque he estado aprendiendo de manera inversa: primero es el Espacio de estados de Hilbert, luego el grupo de operadores de simetría)

EDITAR: Creo que el proceso de hacer una teoría física sería el siguiente:

Correspondiendo a una "física" específica, hay particularmente un grupo de Lie (llamado G) de simetría. Entonces podemos construir un marco representando este grupo de Lie como un grupo de transformaciones lineales que actúan sobre un espacio vectorial V.

  • Cada elemento de V sería un estado de la física.
  • Cada elemento del álgebra de Lie (correspondiente a G) sería un observable (esto es lo que quiero saber si es verdadero o falso)

Entonces podemos aplicar conceptos cuánticos como estado propio, valor propio, distribución,...

¿Me equivoco? Si me equivoco, ¿cómo puedo solucionarlo?

(Acabo de leer accidentalmente sobre la teoría de la representación la semana pasada y estoy un poco entusiasmado con la idea de promover una teoría a partir de un objeto algo simple (fundamental) como un grupo de simetría)

Encontré un artículo que describe la forma de construir la física cuántica a partir del grupo de simetría y la teoría de la representación:

http://www.math.columbia.edu/~woit/QM/qmbook.pdf

Respuestas (1)

No te equivocas, las simetrías de una teoría son esenciales para encontrar el espacio de estados adecuado. El espacio de estados debe llevar una representación de todas las simetrías de la teoría (aunque podría ser la trivial). Por ejemplo, para un sistema cuántico que es invariante bajo rotación (piense en el átomo de hidrógeno), el hecho de que debemos representar el grupo de rotación S O ( 3 ) sobre el espacio de soluciones de la ecuación de Schrödinger, ya que son, como funciones de onda, los estados, se refleja naturalmente en el hecho de que las soluciones son (combinaciones lineales de) los armónicos esféricos Y metro yo , que son los vectores base de todas las representaciones irreducibles de S O ( 3 ) , etiquetado por yo ∈ norte . Si H yo denota la representación de un determinado yo , el espacio completo de estados es ⨁ yo ∈ norte H yo . Entonces, ¡podrías haber adivinado el espacio de estados observando solo la simetría en lugar de resolver la ecuación de Schödinger! (He descuidado la parte radial y de giro en lo anterior, pero creo que da una idea general)

Pero una teoría es (casi) siempre más que sus simetrías. Muchas teorías de campo tienen una acción que determina las ecuaciones clásicas de movimiento y la integral de trayectoria cuántica, aunque no todas . La mecánica cuántica (casi) siempre tiene al hamiltoniano determinando la evolución del tiempo, y la simetría del cuantomorfismo (ese post no está directamente relacionado, pero Urs Schreiber cuenta una gran historia sobre cómo el paso de la mecánica clásica a la cuántica está intrínsecamente motivado por la teoría de Lie, yo crees que te puede interesar) no basta con arreglarlo, hay que darlo.

Lo más cerca que está de determinar toda la teoría solo por su simetría son las teorías de calibre cuántico puro en dimensiones bajas, donde, en 2D, la estructura topológica del espacio-tiempo junto con el grupo de calibre fija completamente el QFT y todos los observables (que no son tantos).

No estoy seguro de haber respondido a su pregunta precisa, así que no dude en señalarlo si me equivoqué.

Es triste. Si podemos obtener la teoría de la investigación del grupo de simetría, sería una hermosa manera de construir la física cuántica. Muy triste.
@ACuriousMind: ¿Cómo combino la idea de S O ( 3 ) como vectores base de irreps de S O ( 3 ) con su definición formal de algunos generadores que satisfacen alguna relación de conmutación. ¿Cuáles son los generadores aquí y cómo define el conmutador en este caso? Más información sobre armónicos esféricos como irreps de S O ( 3 ) y se agradecerán algunas referencias.
@ramanujan_dirac: ¡Hay que tener cuidado con la terminología! Los generadores con su relación de conmutación se encuentran en el álgebra de Lie s o ( 3 ) de S O ( 3 ) . Se puede ver que los armónicos esféricos forman irreps de S O ( 3 ) al observar que se transforman bajo rotaciones solo por composición, lo que da que H yo es una representación del grupo de rotación (ya que los armónicos forman un espacio vectorial y la composición es lineal). Que son irreps se ve entonces simplemente observando que corresponden exactamente a los irreps abstractos usuales denotados por | j , metro ⟩ .
@ramanujan_dirac: Eso H yo está cerrado bajo rotación se deduce del hecho de que yo ( yo + 1 ) es el valor propio del cuadrado del operador de momento angular (que es el Casimiro cuadrático de s o ( 3 ) ) y que las rotaciones son generadas por los momentos angulares. Los espacios propios son espacios invariantes, por lo que H yo se cierra por rotación. Buscando en Google se encuentra mucho sobre este tema, pero me temo que no tengo ninguna fuente en particular que pueda recomendar.
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