Representaciones de SO (3) y la clasificación de partículas masivas relativistas como en "La teoría cuántica de campos" de Weinberg

Estoy leyendo sobre la clasificación de partículas masivas relativistas en "La teoría cuántica de campos" de Weinberg, y encontré algo que no me convence. En el Capítulo 2, párrafo 5, habiendo tratado previamente las traslaciones, Weinberg descompone la acción de una transformación de Lorentz ortócrona propia en el espacio de Hilbert de alguna partícula relativista como

$$U(\Lambda)\,|p,\sigma\rangle=\frac{N(p)}{N(\Lambda p)}\sum_{\sigma'}D_{\sigma',\sigma}(W(\Lambda,p))\ |\Lambda p,\sigma'\rangle$$

Donde el$|p,\sigma\rangle$son vectores propios del operador de cuatro momentos con algunos grados de libertad adicionales especificados por las etiquetas$\sigma$, el$N$son coeficientes de normalización debido a la definición de la$|p,\sigma\rangle$'s en términos del impulso de un vector propio estándar$|k,\sigma\rangle$y$D_{\sigma',\sigma}(W(\Lambda,p))$es una representación del elemento

$$W(\Lambda,p)=L^{-1}(\Lambda p)\ \Lambda\ L(p)$$

del "pequeño grupo", el subgrupo del grupo de Lorentz que fija$k$(aquí$L(p)$es el impulso que trae$k$a$p$). Al descomponer la acción de$U(\Lambda)$, Weinberg reduce la cuestión de la clasificación de las partículas relativistas a encontrar las representaciones irreducibles del pequeño grupo, determinadas por el vector propio estándar que se elige para definir los vectores propios de cuatro momentos. En particular, para partículas masivas con energía positiva, elige el cuatro impulso

$$k^{\mu}=(m,0,0,0)$$ es decir, la partícula en reposo con masa $m$cuatro impulsos. Luego concluye que el pequeño grupo para este $k$es SO(3), ya que cada impulso modifica $k$y ninguna rotación lo modifica, de modo que, dada la masa $m$de la partícula (y dado que su energía es definida positiva), esta última se clasifica hasta el comportamiento de los autoestados de cuatro momentos bajo rotaciones tridimensionales. Dado que los generadores de rotaciones y traslaciones no conmutan, mientras que estas transformaciones rotacionales conmutan con el operador de cantidad de movimiento, deben actuar sobre grados de libertad SO(3) no orbitales, es decir, sobre los que llamamos grados de libertad de espín del partícula. Hasta aquí, todo está claro para mí (y muy inteligentemente planteado, en mi opinión). Luego pasa a la clasificación de las representaciones del pequeño grupo SO(3). Él dice que las representaciones irreducibles de dimensión finita de SO (3) están etiquetadas con números $j$que puede tomar valores enteros o semienteros, es decir, el espín puede tener un valor entero o semientero. Sin embargo, sabemos que los valores semienteros son realmente valores en las representaciones de SU(2), no de SO(3). En el nivel del álgebra de Lie, las representaciones son las mismas, como el álgebra de Lie es la misma, pero la correspondencia uno a uno entre las representaciones del álgebra de Lie y las del grupo de Lie se cumple solo para grupos de Lie simplemente conectados, en este caso SU(2). Entonces, cuando clasifica las representaciones de SO(3), ¿no debería estar tomando $j$ser exclusivamente entero? Sé que la respuesta correcta es entero Y medio entero, pero no da ninguna explicación de por qué es posible usar SU(2) en lugar de SO(3) (al menos no hasta el punto en que yo m con la lectura, pido disculpas si lo hace después). Creo que leí en otro lugar que esto tiene algo que ver con el hecho de que las representaciones que uno necesita definir en el espacio de Hilbert son realmente representaciones proyectivas, de modo que el signo menos que uno obtiene cuando SU(2)-rota el estado por $2\pi$realmente explica un cambio de fase de $e^{i\pi}$. Por esta línea de razonamiento, las representaciones proyectivas de SO(3) coinciden de hecho con las representaciones no proyectivas de SU(2). Si esta es la forma correcta de verlo, me gustaría que alguien explicara esto. Gracias de antemano.