¿Cómo encontrar operadores de escalera que diagonalicen un hamiltoniano en QFT?

Tengo algunos problemas para entender cómo se puede, en el contexto de QFT, diagonalizar un hamiltoniano$H$por la introducción de operadores de escalera$a$y$a^\dagger$(Tengo problemas para entender cómo se supone que uno debe obtener exactamente estos operadores).

Según tengo entendido, "diagonalizar" un hamiltoniano significa encontrar operadores de escalera$a_p$y$a_p^\dagger$que obedecen a la relación canónica de conmutación

$$[a_p,a_k^\dagger]\propto \delta(k-p)\quad\text{and}\quad [a_k,a_p]=[a^\dagger_k, a^\dagger_p]=0$$ y reescribir$H$en términos de estos operadores de escalera tal que $$H(a,a^\dagger)a^\dagger\vert0\rangle\propto a^\dagger\vert0\rangle\quad \text{and}\quad H(a,a^\dagger)a\vert n\rangle\propto a\vert n\rangle.$$

---

Supongamos que queremos diagonalizar el hamiltoniano del campo escalar complejo$\phi$(que obtuvimos del Lagragiano$\mathcal{L}$), eso es

$$H=\int d^3x\left(\pi^\dagger \pi +\nabla\phi^\dagger\nabla\phi+m^2\phi^\dagger\phi\right).$$ Este hamiltoniano es una función de$\phi$y$\phi^\dagger$(ya que se puede expresar$\pi^\dagger=\dot\phi^\dagger$y$\pi=\dot\phi$en términos de esos dos). Así que lo que estoy buscando ahora son$a(\phi,\pi^\dagger)$,$a^\dagger(\phi,\pi^\dagger)$,$b(\phi,\pi^\dagger)$y$b^\dagger(\phi,\pi^\dagger)$(dos conjuntos de operadores desde$\phi$y$\phi^\dagger$son independientes entre sí).

Ahora la mayoría (todo lo que he visto hasta ahora) de libros/notas de conferencias simplemente pasan a suponer que tenemos

$$\begin{align*} a_p&=\int d^3 x e^{ipx} (\omega_p \phi(x)+ i\pi^\dagger(x))\quad a_p^\dagger=\int d^3 x e^{ipx} (\omega_p \phi^\dagger(x)- i\pi(x))\\ b_p&=\int d^3 x e^{ipx} (\omega_p \phi^\dagger(x)+ i\pi(x))\quad b_p^\dagger=\int d^3 x e^{ipx} (\omega_p \phi(x)- i\pi^\dagger(x)) \end{align*}$$ y luego demostrar que satisfacen lo que queremos. Pero, ¿cómo llegamos a estos operadores? Encontré esta publicación SE , donde se propone un método, pero no lo apliqué a este ejemplo. Si lo he entendido correctamente, debo suponer que tenemos

$$a = \alpha \phi + \beta \pi^\dagger,\quad a^\dagger = \alpha^* \phi^\dagger + \beta^*\pi,$$ pero ¿qué pasa con el segundo par de operadores de escalera y cómo distinguirlos del primero? Realmente no estoy seguro de si esto funciona aquí...

---

TL; DR: me gustaría saber cómo se pueden encontrar operadores de escalera que diagonalicen un hamiltoniano dado$H(\phi,\pi)$concretamente