Entonces quiero diagonalizar mi hamiltoniano (es hamiltoniano bosónico) que es:
Mi clase no cubrió este material, así que realmente no sé cómo proceder. Estaría agradecido por cualquier literatura que cubra estos temas y un libro de problemas con soluciones también sería genial.
Lo que traté de hacer fue escribir mi hamiltoniano en forma de matriz, que sería:
Y luego diagonalizarlo, encontrar estados propios, etc. ¿Es esta la forma correcta?
Diagonalizar el hamiltoniano significa que desea llevarlo a la forma , y es bastante obvio que debe ser una combinación lineal de y , y debería satisfacer la conmutación canónica de los operadores de aniquilación, a saber .
Ahora escribamos (esto se llama la transformación de Bogoliubov, por cierto). La condición lleva a . Expandámonos :
Por lo tanto
Juntos con , tenemos tres ecuaciones para tres variables ( ). De hecho, en este caso uno puede asumir con seguridad y ambos son reales. El resto es solo álgebra.
Diagonalizar un operador significa encontrar sus estados propios.
Sin pérdida de generalidad, su hamiltoniano se puede escribir como
Debe haber algunos errores en su ecuación si realmente quiere decir eso en un segundo procedimiento de cuantificación. En primer lugar, no hay general operador, más bien tienes uno para cada impulso , eso es crear y destruir (entre comillas) partículas con impulso ; no hay en su hamiltoniano inicial, mientras que la forma general debe ser .
En segundo lugar: según si sus partículas son fermiones o bosones, los operadores correspondientes se comportan de manera diferente: por ejemplo por fermiones.
Si el hamiltoniano actúa sobre un subespacio del espacio de Fock con un cierto número de partículas , entonces los dos últimos términos de la ecuación llevarían la acción a , por lo tanto el rhs vivirá en , que realmente no tiene ningún sentido ya que no se da ninguna receta sobre cómo sumar elementos en diferentes espacios de Hilbert (las dos últimas piezas).
O asigna una prescripción precisa para lograr lo anterior, o debe haber errores en otra parte de la fórmula, como se señaló; intente dar más contexto para que uno pueda entender lo que quiere decir. Dicho esto, la literatura sugerida sobre cómo escribir cualquier hamiltoniano en segunda cuantización y encontrar las soluciones correspondientes es, por ejemplo:
¿Qué tal simplemente usar la representación Matrix?
https://en.wikipedia.org/wiki/Creation_and_annihilation_operators#Matrix_representation
Puedes tener cualquier número de bosones desde 0 hasta infinito. Esa será su base, y su función de onda se representa como un vector en el que el elemento 0 da amplitud de probabilidad de tener 0 cuantos, el elemento 1 da amplitud para 1 cuanto, 2 para 2 cuantos, etc. en el sistema.
Calcular con matrices es fácil:
N = 1000;
a = zeros(N);
for i=1:N-1
a(i,i+1) = sqrt(i);
end
H = 10*a*a' + 5 / 2 * (a*a+a'*a');
eig(N)
Disclaimer: he trabajado con fermiones casi siempre, salvo algún curso cuántico de hace 8 años.
caims
Meng Cheng
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gentil
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Sebastián Riese
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Sebastián Riese
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