Expansión de modo del operador de campo en QFT no relativista

Siguiendo las notas de David Tong , en la ec. (2.111) afirma que para un operador de campo no relativista la expansión de Fourier es como se da. Tiene sentido intuitivo, pero ¿cómo se puede argumentar formalmente que, a diferencia de las expresiones relativistas como 2,18, es solo la parte de la frecuencia positiva la que entra en la expresión? O tal vez la pregunta debería ser: ¿cuál es el argumento formal para que la parte negativa de la frecuencia esté presente en la expresión 2.18?

Respuestas (1)

La diferencia crucial es que (2.18) se aplica a un sistema cuyo Lagrangiano y, por lo tanto, ecuación de movimiento (y conjunto de soluciones de la misma) es invariante bajo ϕ → ϕ ∗ , mientras que (2.111) no tiene análogo ψ → ψ ∗ (o, en el caso spinor, ψ → ψ † ) invariancia. Esta simetría extra discreta de la teoría del campo relativista es la razón por la que tiene un dolor de cabeza de frecuencia negativa, y esta es, en última instancia, la razón por la que es necesaria una interpretación del campo que no sea solo la función de onda de una partícula; y, como Dirac se dio cuenta del caso del espinor (para el que encontró una PDE de primer orden), el espín y la antimateria surgen como consecuencia. Si observa detenidamente qué campos son (anti-)hermitianos, también puede darse cuenta de la importancia del factor de i en la densidad de momento de ψ .

Veo. Entonces, ¿qué hay de los campos escalares relativistas complejos? Estos no son invariantes bajo ψ → ψ ∗ sin embargo, tienen modos negativos en sus expansiones; más que eso: dado que los campos clásicos son complejos, después de la cuantización los operadores no son hermitianos, por lo que usamos dos operadores diferentes, no relacionados por conjugación compleja, como en la expresión 2.69, que finalmente da la interpretación de partículas y antipartículas.
@Piotr No es si los campos son autoconjugados, ese es el problema aquí; es si, en el caso del campo complejo, la conjugación permanece en el conjunto solución. Si compara el TDSE con la ecuación de Klein-Gordon, verá que solo el conjunto de soluciones de este último tiene esta regla de cierre.
@JG En realidad, me gusta tu argumentación ya que también tenía dudas sobre esta pregunta. Solo un poco de precisión, supongo que cuando se trata del caso del espinor de Dirac, la invariancia de la que hablas es ψ → ψ C dónde ψ C es la conjugación de carga que se define en su forma más simple ψ C = γ 2 ψ ∗
@FredericThomas Bueno, sí, la ecuación de Dirac es diferente nuevamente.
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