Operador de posición en QFT

Este tema es un poco confuso en los libros de texto, sin embargo la afirmación del profesor es físicamente incorrecta (matemáticamente todo el procedimiento se puede justificar rigurosamente usando la teoría de las distribuciones). El punto es que el operador de posición reclamado no es el operador de posición porque ni siquiera es auto-adjunto (ni hermitiano) en el espacio de Hilbert relevante de la teoría. En realidad, no entraré en detalles y solo mostraré el problema básico que afecta a estas ideas (bastante populares desafortunadamente).

Comencemos desde cero. Si, aprovechando la medida invariante de Lorentz$\frac{d\vec{p}}{E(\vec{p})}$, decides escribir el operador de campo como

$$\hat{\phi}(x) = \int_{\mathbb R^3} \frac{d\vec{p}}{2E(\vec{p})} a_p e^{ip_\mu x^\mu} + a^\dagger_p e^{-ip_\mu x^\mu} \:,$$ dónde $\vec{p} \in \mathbb R^3$es el impulso tres mientras $p_0 := E(\vec{p}) = \sqrt{\vec{p}^2+m^2}$, se ve que las relaciones de conmutación $$[\hat{\phi}(t,\vec{x}), \partial_0 \hat{\phi}(t,\vec{y})] = i \delta(\vec{x}-\vec{y})$$ son posibles si y sólo si (omito algunas $(2\pi)^a$coeficiente) $$[a_p,a^\dagger_q]= 2E(\vec{p}) \delta(\vec{p}-\vec{q})\:.$$ Esto significa que la representación de momento relevante no es $L^2(\mathbb R^3, d\vec{p})$pero es su versión invariante de Lorentz $$L^2\left(\mathbb R^3, \frac{d\vec{p}}{2E(\vec{p})}\right)$$ Quiero decir que la amplitud de dos funciones de onda de momento $\psi= \psi(\vec{p})$y $\psi'= \psi'(\vec{p})$es: $$\langle \psi'|\psi\rangle = \int_{\mathbb R^3} \frac{d\vec{p}}{2E(\vec{p})} \overline{\psi'(\vec{p})} \psi(\vec{p})\:.$$ Con esta elección de la representación del momento, el operador $i\frac{\partial}{\partial p_k}$no es hermitiano debido a la presencia del factor $E(\vec{p})^{-1}$dando lugar a una obstrucción para el procedimiento de integración por partes, al intentar mover $X_k$de un lado al otro lado del producto escalar para demostrar que $\langle \psi'|X_k\psi\rangle=\langle X_k\psi'|\psi\rangle$(equivocado).

De hecho, el operador de posición a lo largo de la dirección espacial$x_k$está definido por el operador hermitiano

$$\left(X_k \psi\right)(\vec{p}) = iE(\vec{p})\frac{\partial }{\partial p_k} \frac{1}{E(\vec{p})}\psi = i\left(\frac{\partial }{\partial p_k} - \frac{1}{E(\vec{p})}\frac{\partial E(\vec{p})}{\partial p_k}\right) \psi$$ eso es $$\left(X_k \psi\right)(\vec{p}) = i\left(\frac{\partial }{\partial p_k} - \frac{p_k}{E(\vec{p})^2}\right) \psi(\vec{p}) \tag{1}$$ Este es el llamado operador de posición de Newton-Wigner en representación de momento para un campo escalar relativista que se cree que es la definición correcta de operador de posición en la mecánica cuántica relativista, si tal noción todavía tiene sentido en la mecánica cuántica relativista. Con esta definición, es posible mostrar que un estado localizado de posición $\psi_{x_0}$cuando se lee en representación de campo $${\phi}(\vec{x}) = \int_{\mathbb R^3} \frac{d\vec{p}}{2E(\vec{p})} \psi_{x_0}(\vec{p}) e^{i\vec{p}\cdot\vec{x}}$$ da lugar a una configuración de campo concentrada alrededor $x_0$en una región con las dimensiones de la longitud Compton de la partícula.

Está claro que, con esta definición (correcta) de operador de cantidad de movimiento, la afirmación del profesor es incorrecta porque el término adicional en el lado derecho de (1) no permite lograr la identidad (incorrecta).$\hat{X}^k \hat{\phi}|0\rangle = x^k\hat{\phi}|0\rangle$La afirmación general también es insostenible porque el componente$\hat{X}^0$debe interpretarse como un "operador de tiempo" que como se sabe no existe (teorema de Pauli).

Aquí está la respuesta (no consideraré las constantes en el denominador de su transformada de Fourier por simplicidad, sin embargo, están allí ;-)). Cuando escribes el operador$\hat{\phi}$Tienes que tener cuidado. Dejaré los sombreros, porque creo que será más claro (tal vez aquí el sombrero representa un operador y no la transformada de Fourier). Su operador no está en la representación de momento, ya que tiene la integración sobre$p$. Ese operador depende de$x$, y se puede escribir como$\phi(x)$.

Denotemos la transformada de Fourier por$\mathscr{F}$. Es una transformación unitaria en$L^2$, por lo que al actuar sobre un operador$A$de ese espacio a menudo se escribe como$\mathscr{F}A\mathscr{F}^{-1}$. Porque, por unitaridad,

$$\langle\psi_1, A\psi_2\rangle=\langle\mathscr{F}\psi_1,\mathscr{F}A\psi_2\rangle=\langle \mathscr{F}\psi_1,(\mathscr{F}A\mathscr{F}^{-1})\mathscr{F}\psi_2\rangle\; .$$ Por lo tanto, la escritura correcta es que el operador de posición en la representación de la transformada de Fourier es la derivada wrt $p$: $$\mathscr{F}X^\mu\mathscr{F}^{-1}=+i\partial/\partial p_\mu\; .$$ Con el mismo espíritu, su operador $\phi(x)$se convierte en la transformada de Fourier y actúa sobre el vacío (para seguir su notación, el vacío de momento $\lvert 0\rangle=\mathscr{F}\lvert 0_x\rangle$, tiempo $\lvert 0_x\rangle$es la posición de vacío): $$\mathscr{F}\phi(x)\lvert 0_x\rangle=a^{\dagger}_p\lvert 0\rangle\; .$$ Por lo tanto: $$X_\mu\phi(x)\lvert0_x\rangle= \mathscr{F}^{-1}(\mathscr{F}X_\mu\mathscr{F}^{-1})(\mathscr{F}\phi(x)\mathscr{F}^{-1})\lvert 0\rangle=i\mathscr{F}^{-1}\frac{\partial}{\partial p_\mu}a^\dagger_p \lvert 0\rangle\\=i\int dp \,e^{ip_\nu x^\nu}\frac{\partial}{\partial p_\mu}a^\dagger_p \lvert 0\rangle\; .$$ Ahora, si "integras por partes" en el último término (en el sentido de distribuciones) obtienes: $$X_\mu\phi(x)\lvert0_x\rangle=-i\int \, dp \Bigl(\frac{\partial}{\partial p_\mu}e^{ip_\nu x^\nu}\Bigr)a^\dagger_p\lvert 0\rangle = x^\mu \phi(x)\lvert 0_x\rangle\; .$$