¿Cómo encontrar el eje con mínimo momento de inercia?

Este es en realidad un buen ejemplo de tensores y minimización usando multiplicadores de Lagrange. Para la rotación sobre el COM, el tensor de inercia $\mathbf{I}$se define como simétrico$3\times3$matriz con elementos como

$$I_{xx} = \sum_k m_k (y_k^2+z_k^2), \quad I_{xy} = I_{yx} = -\sum_k m_k x_k y_k, \quad I_{xz} = I_{zx} = -\sum_k m_k x_k z_k, \quad \ldots$$ donde los vectores de posición $(x_k,y_k,z_k)$son relativos al COM. Incluso una disposición 2D de partículas tendrá, en general, una $3\times3$tensor de inercia: puede rotarlos sobre cualquier eje en el espacio 3D. Debido a que es un tensor, el momento de inercia asociado con la rotación sobre cualquier eje a través del COM, representado por un vector unitario $\mathbf{n}$, tendrá un valor $$\mathbf{n}\cdot\mathbf{I}\cdot\mathbf{n}$$ Entonces podemos buscar el vector $\mathbf{n}$que minimiza esta forma cuadrática. Sin embargo, debemos recordar la restricción de que $\mathbf{n}$es un vector unitario, es decir, satisface $\mathbf{n}\cdot\mathbf{n}=1$. Entonces podemos aplicar el método de los multiplicadores indeterminados de Lagrange y minimizar sin restricciones la función $$\Phi(\mathbf{n}) = \mathbf{n}\cdot\mathbf{I}\cdot\mathbf{n} - \lambda \mathbf{n}\cdot\mathbf{n}$$ Este mínimo (o máximo) ocurre cuando el gradiente de la función con respecto a $\mathbf{n}$se desvanece, y esto sucederá cuando $$\mathbf{I}\cdot\mathbf{n} = \lambda \mathbf{n}$$ Este es un problema de valores propios . Entonces la respuesta a tu pregunta es

1. Diagonalice el tensor de inercia, para dar sus tres valores propios principales$I_1$,$I_2$,$I_3$.
2. Elige el más pequeño de estos.
3. El vector propio correspondiente es el eje que desea.

Como se mencionó anteriormente, siempre que calcule el tensor de inercia como un$3\times3$matriz, no importa si el arreglo de masas es en 2D o 3D. Si las partículas están todas en el$xy$avión, sin embargo, es fácil demostrar que el$z$eje es un vector propio del tensor de inercia, y también (debido al teorema del eje perpendicular ) que el momento de inercia con respecto al$z$eje es mayor que cualquiera de los ejes que se encuentran en el$xy$avión. Esencialmente, el problema se convierte en un$2\times2$problema de valores propios de la matriz.

Estoy resolviendo esto para partículas distribuidas en un espacio 2D. Primero sabemos que el momento de inercia de una partícula con respecto a un eje viene dado por

$$I=Mr^2$$

Y sabemos que los ejes que pasan por COM tienen el mínimo momento de inercia. Nuestro trabajo es encontrar la pendiente de los ejes con inercia mínima, luego podemos usar la forma de punto de pendiente para encontrar la ecuación del eje requerido:

$$y - y_0 = m ( x - x_0 )$$

(Donde m es la pendiente de la recta y$(x_0, y_0)$es el punto por donde pasa)

Ahora consideremos la distribución de masas, la coordenada de COM está dada por:

$$x_{cm} = \frac{1}{M} \sum_i M_i x_i$$ $$y_{cm} = \frac{1}{M} \sum_i M_i y_i$$

Y ahora cambiemos el origen a COM para facilitar nuestros cálculos. Si la coordenada original de masa$M_i$era$(x_i, y_i)$entonces las nuevas coordenadas desplazadas son:

$$\begin{align} x_i' & = x_i - x_{cm} \\ y_i' & = y_i - y_{cm} \end{align}$$ Por lo tanto, el eje que buscamos ahora pasa al nuevo origen desplazado $(x_0, y_0)$.

Ahora sea la ecuación de la recta

$$y = mx$$ (como esta línea pasa por el origen, $c = 0$).

Entonces la distancia$r_i$del$i$partícula a partir de esta línea, viene dada por:

$$\begin{align} r_i = \frac{|m x_i' -y_i'|}{\sqrt{1+m^2}} \end{align}$$

Por tanto, el momento de inercia total del sistema es:

$$\begin{align} I = \sum M_i r_i^2 \end{align}$$

Ahora podemos diferenciarlo con respecto a$m$(pendiente) e igualarlo a cero para encontrar los mínimos:

$$\frac{dI}{dm} = \sum \frac{2M_i(mx_i'-y_i)(x_i'+my_i)}{(1+m^2)^2}$$

Igualándolo a cero da:

$$\sum M_i(mx_i'-y_i)(x_i'+my_i)=0$$

Resolviendo para m da la siguiente ecuación cuadrática:

$$\left(\sum M_i x_i'y_i'\right)m^2 + \left(\sum M_i (x_i'^2-y_i'^2)\right)m - \left(\sum M_i x_i'y_i'\right) = 0$$

Tenga en cuenta que el producto de las raíces (es decir, las pendientes) es -1, es decir, esto da dos ejes perpendiculares entre sí y uno de ellos tiene un impulso mínimo y el otro tiene un impulso máximo (se pueden encontrar diferenciando la ecuación cuadrática anterior nuevamente )

Por lo tanto, el eje que buscamos, en el sistema de coordenadas original, puede escribirse como:

$$y-y_{cm} = m(x-x_{cm}).$$ dónde $m$es la pendiente que corresponde a la inercia mínima.