Varilla giratoria Como un péndulo cónico

Question

Varilla giratoria Como un péndulo cónico

satanás 29

Considere una varilla rígida con bisagras en su punto superior que gira en un círculo (similar a un péndulo cónico). Se da que la velocidad angular (y por tanto el ángulo semivertical) es constante . Estoy tratando de analizar este sistema:

Desde el marco giratorio, la varilla está en reposo. Por lo tanto, el par neto debe ser cero. También tenemos que considerar las pseudo fuerzas. Considere un elemento de masa $dm$ de longitud dx a una distancia x del punto de articulación. Gira en un círculo de radio $xsin(\theta)$ por lo que ejerce un momento de torsión: $(dm)(\omega^2)(xsin\theta)(xcos\theta)$ sobre el punto de suspensión. Esto debe ser balanceado por el Torque de peso= $dmgxsin\theta$ . Igualar ambas integrales da una relación entre $\omega$ y $\theta$ .
Sin embargo, desde el marco del suelo, está claro que habrá un par neto (debido al peso) sobre el punto de suspensión, lo que me hizo cuestionar el hecho de que $\omega$ es constante Sin embargo, si consideras el eje de rotación, $mg$ ¡No puede producir un par, ya que es paralelo al eje! Entonces es por eso $\omega$ es constante? Entonces, ¿cuál es el significado de que el par neto no sea cero en el punto de suspensión?
Una ilustración (sin resolver) en mi libro de texto pregunta por la "tasa de cambio del momento angular" de la barra. Dado que esto es igual al "torque", ¿qué debo considerar? Torque sobre el punto de suspensión? o sobre el eje? ¿y por qué?

disidente

Olvidaste agregar tensión de la varilla

satanás 29

@maverick ¿No pasará siempre por el punto de suspensión y el eje? No debería producir un par

disidente

sí, sobre el punto de suspensión no habrá torsión debido a la tensión, pero puede ser útil para equilibrar fuerzas que están en equilibrio

Respuestas (2)

Varilla giratoria Como un péndulo cónico

@maverick ¿No pasará siempre por el punto de suspensión y el eje? No debería producir un par
sí, sobre el punto de suspensión no habrá torsión debido a la tensión, pero puede ser útil para equilibrar fuerzas que están en equilibrio

dnaik · Answer 1

Creo que ha entendido mal la pregunta, donde la varilla no gira sobre el eje, sino que gira , lo que implica que se la obliga a girar a una frecuencia constante y aún no está en equilibrio. Por lo tanto, la suposición de que el ángulo semivertical es constante es incorrecta. La velocidad angular es constante, pero el momento de inercia alrededor del eje cambia con el ángulo, cambiando así el momento angular. Esto es probablemente lo que le han pedido que calcule (tal vez la tasa de cambio instantánea en un ángulo dado, no sé la pregunta exacta). Puedes hacer esto usando un diagrama de cuerpo libre.

homovafer · Answer 2

Normalmente tratamos de encontrar una relación entre el ángulo de apertura del cono (entre la barra y la vertical) y la velocidad angular de rotación.

Se decide estudiar el problema en el marco de referencia inercial dado por el punto O donde la barra está atada al techo. El movimiento de la barra es una rotación alrededor del eje vertical que pasa por O, que no es un eje de simetría de la barra. Al no ser un eje de simetría, el momento angular de la barra con respecto al punto O no es paralelo a la velocidad angular y sigue un movimiento de precesión. El momento angular precede con la misma velocidad $\vec\omega$ con el que gira la varilla y por tanto su movimiento sigue la ley:

\frac{d {\vec{L}}_{o}}{d t} = \vec{ω} \times {\vec{L}}_{o}

${d\vec L_o \over dt} = \vec \omega \times \vec L_o$ Para la segunda ecuación cardinal, la derivada del momento angular en el tiempo con respecto a un polo fijo es igual al par. Las fuerzas que intervienen en este sistema de inercia son exclusivamente la fuerza de constricción del techo y la fuerza del peso. La fuerza de constricción del techo no produce torsión ya que se aplica en el punto O. La fuerza de peso es en realidad un campo completo de fuerzas de peso paralelas que actúan en cada punto del objeto. Aplicamos el teorema del campo de fuerzas paralelas que nos dice que el torque total dado por las fuerzas de peso es igual al torque de la fuerza de peso total aplicada en el centro de gravedad, en el medio de la barra.

\frac{d {\vec{L}}_{o}}{d t} = \vec{ω} \times {\vec{L}}_{o} = {\vec{τ}}_{o} = {\vec{r}}_{C METRO} \times \vec{W}

${d\vec L_o \over dt} = \vec \omega \times \vec L_o = \vec \tau_o = \vec r_{CM} \times \vec W$ Observamos que ambos productos vectoriales en realidad dan lugar a un vector en la dirección saliente. Imponemos la igualdad entre los módulos

\vec{ω} \times {\vec{L}}_{o} = r_{C METRO} \times \vec{W}

$\vec \omega \times \vec L_o = r_{CM} \times \vec W$

ω L_{o} pecado (π / 2 - θ) = \frac{yo}{2} METRO gramo pecado (θ)

$\omega L_o \sin(\pi/2 - \theta) = {l \over 2} Mg \sin(\theta)$

ω L_{o} porque (θ) = \frac{yo}{2} METRO gramo pecado (θ)

$\omega L_o \cos(\theta) = {l \over 2}Mg\sin(\theta)$

ω L_{o} = \frac{yo METRO gramo}{2} broncearse (θ)

$\omega L_o = {lMg \over 2}\tan(\theta)$ El momento angular

L_{o}

$L_o$ parece difícil de calcular porque el objeto gira alrededor de un eje no simétrico. Sin embargo, podemos calcularlo simplemente a partir de la definición:

{\vec{L}}_{o} = \sum_{i} {\vec{r}}_{i} \times {metro}_{i} {\vec{v}}_{i}

$\vec L_o = \sum_i \vec r_i \times m_i\vec v_i$

{\vec{L}}_{o} = \sum_{i} {metro}_{i} {\vec{r}}_{i} \times (\vec{ω} \times {\vec{r}}_{i})

$\vec L_o = \sum_i m_i\vec r_i \times (\vec \omega \times \vec r_i)$ La sumatoria toma vectores con la misma dirección y orientación por lo tanto el módulo de la sumatoria es la suma de los módulos. Prestando atención en el cálculo de los módulos obtenemos

L_{o} = \sum_{i} {metro}_{i} r_{i}^{2} w pecado (π - θ) = \sum_{i} {metro}_{i} r_{i}^{2} w pecado (θ)

$L_o = \sum_i m_ir_i^2w \sin(\pi - \theta) = \sum_i m_ir_i^2w \sin(\theta)$ La varilla tiene una distribución de materia continua y uniforme por lo que integramos a lo largo de su longitud.

L_{o} = \int_{0}^{yo} r^{2} ω pecado (θ) d metro = \int_{0}^{yo} r^{2} ω pecado (θ) \frac{METRO}{yo} d r = ω pecado (θ) METRO \frac{{yo}^{2}}{3}

$L_o =\int_{0}^{l} r^2\omega\sin(\theta)dm =\int_{0}^{l} r^2\omega\sin(\theta){M\over l} dr = \omega\sin(\theta){M}{l^2 \over 3}$ Sustituyendo en la ecuación encontrada anteriormente:

ω^{2} pecado (θ) METRO \frac{{yo}^{2}}{3} = \frac{yo METRO gramo}{2} broncearse (θ)

$\omega^2\sin(\theta){M}{l^{{2}} \over 3} = {{lM}g \over 2}\tan(\theta)$

ω^{2} = \frac{3 gramo}{2 yo porque (θ)}

$\omega^2 = {3g \over 2l\cos(\theta)}$ Que expresa la relación entre la velocidad angular y el ángulo entre la varilla y la vertical. De esta expresión también es posible derivar una velocidad mínima de rotación para que se mantenga el régimen del péndulo cónico:

0 < \cos (θ) < 1

$0<\cos(\theta) < 1$ entonces

ω_{min}^{2} = 3 g / 2 l

$\omega^2_{\text{min}} = 3g/2l$ .

Los mismos resultados se pueden obtener situándonos en un marco de referencia no inercial girando con la varilla y centrado en O. En este caso la fuerza centrífuga aparente, diferente de un punto a otro de la varilla, y la fuerza del peso generan el par que permite la rotación. En el sistema elegido el objeto es estacionario y por lo tanto se puede imponer que la suma de los pares externos sea cero. Al ubicarse en el sistema no inercial, se puede convertir el problema en un problema de estática.

Esta es mi opinión sobre el problema. Probando con el marco no inercial obtuve el mismo resultado.

Varilla giratoria Como un péndulo cónico

satanás 29

disidente

satanás 29

disidente

Respuestas (2)

dnaik

homovafer

¿Quién nos dijo cómo medir el torque?

Confusiones sobre los marcos de referencia al derivar la ecuación de movimiento de rotación de Euler

Derivada del momento angular en un marco de referencia giratorio

Torque neto sobre un objeto cuando todas las fuerzas pasan por un punto común

¿Por qué existe Torque?

¿Ayuda a entender el torque? [duplicar]

¿Cuál es la diferencia cuando medimos el par/momento angular sobre un punto y sobre un eje?

¿Cómo elegir el origen en problemas rotacionales para calcular el par?

Si un momento de torsión evita que una rueda gire, ¿seguirá avanzando la rueda sin girar?

Par sobre el eje