¿Cómo encajan los objetos matemáticos en la teoría de las Ideas de Platón?

Digamos si describo un triángulo ABC, con todos los lados iguales, y describo otro triángulo EDF con todos los lados desiguales.

Estos triángulos que acabo de describir no existen en el mundo visible, sino en el mundo inteligible según mi entendimiento. Identificamos tanto ABC como EDF como triángulos, pero identificamos ABC como un triángulo equilátero y EDF como un triángulo escaleno. He identificado algunas Ideas: a saber, la Idea de Triángulo, la Idea de Triángulo Equilátero y la Idea de Triángulo Escaleno.

Me cuesta entender cómo funciona la teoría de las Ideas de Platón para los objetos matemáticos, considerando que no existen en absoluto en el mundo de las cosas materiales, sino en el mundo inteligible, accesible a los humanos solo a través de la razón. Cuando hablo de un triángulo con longitudes de lado específicas, ¿estoy describiendo una idea específica con esas longitudes de lado? Claramente, hay algún tipo de jerarquía, tal vez como esta:

Idea of Triangle -> Idea of Scalene Triangle -> Idea of 3-4-5 triangle -> (Geometer's conception of 3-4-5 triangle)?

Lo que estoy buscando es alguna aclaración sobre cómo los objetos matemáticos encajan en la teoría de las Ideas de Platón, tengo la impresión de que Platón consideraba mucho a los geómetras, por lo que tal vez pueda haber algún comentario específico sobre esto (entiendo que esto tiene algo que ver con Dianoia)? Sin embargo, también estoy interesado en aprender cómo jerarquizar en la Teoría de las Ideas en general, para objetos no matemáticos.

El "mundo inteligible", también conocido como reino platónico, no está en la mente de uno según Platón, es un mundo eterno objetivo de entidades ideales, iguales para todos. En sus momentos más míticos (Meno, Fedón), Platón describe cómo nuestras almas residen allí antes del nacimiento, olvidan todo cuando son arrojadas al mundo sensible al nacer, y luego lo olvidan cuando son impulsadas por las "sombras" sensibles, que "imitan" su ideal. prototipos. Dejando a un lado el mito, Platón afirma que existe un mundo separado de objetos matemáticos, los matemáticos acceden a él a través de una especie de visión mental, y el mundo sensible es su copia imperfecta.
Una de las discusiones centrales en los Diálogos de Platón es la de la "línea dividida": véase República, Libro 6, 509d . Para comentarios: N.Pappas, Plato's Republic (2013), página 169 y S.Rosen, Plato's Republic: A Study (2005), página 263.
@Conifold Para el mundo inteligible que existe sustancialmente, tiene toda la razón, en mi somnolencia no pude expresar mis pensamientos correctamente, lo corregiré para futuros visitantes, gracias por la expansión. Para el segundo punto, ¿podría proporcionar una referencia textual explícita?
El concepto de Platón del mundo real objetivo ideal, más allá del mundo material falible, está motivado principalmente por el pensamiento matemático. Cosas como la noción abstracta de un círculo son las cosas realmente reales que nuestros pobres intentos de crear en el mundo físico nunca logran exactamente. El objeto matemático es más real que la aproximación en un dibujo o escultura.
@Mitch Sí, pero cuando hablamos de un círculo específico en matemáticas, ¿nos referimos a la Idea del círculo X? ¿O es algún tipo de instancia de las Ideas de Círculos, de Elipses, de Formas Cerradas, etc.? Cuando describimos un objeto matemático particular, ¿es eso una Idea en sí misma, o es algo que existe en algún nivel por debajo del de las Ideas pero que existe por encima del de las cosas materiales?
En el platonismo, los objetos matemáticos, ya sean generales ("todos los círculos") o específicos ("el círculo con radio 3 y centro (1,5)"), son objetos reales (e ideas, y objetos ideales) pero esa cosa que dibujaste en la arena no es un círculo aunque lo parezca e intente estar cerca de uno. Cualquiera que sea su generalidad, todos los objetos matemáticos existen en un nivel, las cosas materiales en otro nivel ('inferior' si se quiere). Pero eso es platonismo. Hay otras filosofías que abordan (o evitan) estos conceptos.
Wikipedia tiene extensos comentarios sobre Meno y Phaedo , incluidas citas, puede rastrear pasajes específicos desde allí.

Respuestas (2)

Platón usó la noción de formas matemáticas como una especie de trampolín para su teoría de las formas mismas; no debían ser vistos como un fin en sí mismos.

Según algunos desarrollos posteriores de la filosofía de Platón, existe una compleja interrelación y jerarquía de ideas; y esto también es evidente en el ámbito puramente matemático. Aunque 'localmente' podríamos ver una jerarquía simple como la que has dibujado, en su totalidad es mucho más intrincada que eso; por ejemplo, Thurston, un famoso geómetra moderno escribió:

Las matemáticas son una estructura enorme y altamente interconectada. No es lineal. Cuando uno lee matemáticas, uno necesita tener una mente activa, hacer preguntas, formar conexiones mentales entre el tema actual y otras ideas de otros contextos, para desarrollar un sentido de estructura, no solo familiaridad con un particular a través de la estructura.

Geometría Tridimensional y Topología, Vol. 1

Se podría agregar que el desarrollo que ha descrito es 'familiaridad con un recorrido en particular': ¡el de los triángulos!

Él añade:

Piensa en un juguete de hojalata. La clave son las piezas que tienen agujeros que permiten unirlas con varillas para formar estructuras interesantes y muy interconectadas. Ningún tema matemático interesante es autónomo o completo: más bien está lleno de "agujeros" o preguntas e ideas naturales que no se responden fácilmente mediante técnicas nativas del tema. Estos agujeros a menudo dan lugar a conexiones entre el tema dado y otros temas que al principio parecen no estar relacionados. La exposición matemática a menudo oculta estos agujeros en aras de la suavidad; pero ¿de qué te sirve un calderero si todos los agujeros se rellenan con plastilina?

Gracias por su respuesta, sin duda ha proporcionado aclaraciones útiles. Sin embargo, fundamentalmente puede formular todas las matemáticas (¿o tal vez excluir ciertos campos altamente abstractos, que podrían estar enraizados en el estudio de la lógica?) en la teoría de conjuntos. Por lo tanto, no veo por qué no tendríamos una jerarquía en todas partes. En particular, me gustaría escuchar sus puntos de vista sobre cuál es la estructura platónica de las matemáticas, ¿es un árbol como sugiero, o es más como una red?
@Anish gupta: es más como una red, vea el extracto anterior de Thurston (aunque los árboles también son importantes); Por cierto, la teoría de categorías proporciona una base alternativa a las matemáticas además de la teoría de conjuntos.
Thurston parece estar describiendo cómo debería ser la estructura mental de las matemáticas de un matemático en activo, tal vez para un aprendizaje óptimo o para demostrar nuevos teoremas. No veo por qué es una respuesta de cuál es realmente la estructura platónica de las matemáticas, ya que no proporciona un argumento de por qué es una red en lugar de decir un árbol de Ideas de abstracción variable.
@anish gupta: no lo describe como su 'estructura mental' sino cómo se estructuran las matemáticas en sí mismas; él dice que está altamente 'interconectado', por lo que es más como una red.

Platón discute los objetos matemáticos en la analogía de la línea dividida , en el libro 6 de la República . Lo que indica la analogía, argumentaré, es que los objetos matemáticos no son entidades genuinas en la ontología de Platón . Sólo las Formas (Ideas) son entidades genuinas en la ontología de Platón. De hecho, se dice que el pensamiento matemático requiere una reflexión mucho más pura sobre las Formas, en comparación con el pensamiento sobre los objetos materiales (*). Aún así, el pensamiento matemático no es una reflexión sobre entidades matemáticas abstractas, según Platón (**).

La línea dividida expresa la siguiente clasificación de objetos:

  1. objetos concretos
    1.1 objetos materiales
    1.2 sombras y reflejos visuales
  2. objetos abstractos
    2.1 las Formas = Ideas
    2.2 objetos matemáticos

Estructuralmente, los objetos matemáticos se comparan con sombras y reflejos visuales. Esto nos da la primera indicación de que los objetos matemáticos no son entidades genuinas. Porque es poco probable que Platón considerara las sombras y los reflejos visuales como entidades genuinas. Las sombras y los reflejos son fenómenos, son objetos de la mente, pero seguramente no entidades genuinas, para Platón. Por lo tanto, también lo son los objetos matemáticos.

En segundo lugar, Platón sostiene que, por ejemplo, cuando dibujamos triángulos concretos en papel, en realidad estamos tratando de pensar en entidades abstractas. Los ejemplos reales de Platón, sin embargo, nos muestran que las entidades abstractas en las que pensamos son siempre Formas abstractas, Ideas (como la Forma de un triángulo), pero no entidades matemáticas abstractas (como triángulos particulares abstractos ) .

¿Y no sabéis también que aunque se sirven de las formas visibles y razonan sobre ellas, no piensan en éstas, sino en los ideales a los que se asemejan; no de las figuras que dibujan, sino del cuadrado absoluto y del diámetro absoluto , y así sucesivamente... (énfasis mío)

En tercer lugar, Platón afirmó que las matemáticas no pueden, en principio, pensarse puramente en abstracto. El pensamiento matemático requiere necesariamente objetos concretos, imágenes. También llama a estas imágenes las "hipótesis" concretas del pensamiento matemático, hipótesis de las que las matemáticas no pueden prescindir. Pero si el pensamiento matemático se basara en entidades matemáticas abstractas, ¿por qué no podría hacerse, al menos en principio, puramente en abstracto? De ahí que el pensamiento matemático no se base en entidades matemáticas abstractas, según Platón. se basa más bien en Formas abstractas más imágenes concretas y materiales.

[En matemáticas] el alma se ve obligada a usar hipótesis; no ascendiendo a un primer principio, porque no puede elevarse por encima de la región de la hipótesis, sino empleando los objetos... como imágenes.

Por el contrario, Platón sostiene que la reflexión filosófica "dialéctica" sobre las Ideas puede hacerse completamente en abstracto.

Y cuando hablo de la otra división de lo inteligible, entenderéis que hablo de esa otra especie de conocimiento que la razón misma alcanza por el poder de la dialéctica... por pasos sucesivos vuelve a descender sin la ayuda de ningún objeto sensible, de las ideas, a través de las ideas y en las ideas termina.

En resumen, la analogía de la línea dividida nos dice que para Platón, al menos en la época en que escribió la República, sólo las Formas, las Ideas, eran entidades genuinas. A su vez, él no creía que los objetos matemáticos particulares fueran entidades genuinas. No había entidades particulares abstractas para Platón. Los objetos matemáticos, los objetos concretos, las sombras visuales y los reflejos, eran todos, en última instancia, solo diferentes grados de sombras, reflejos e imitaciones de las Ideas.

(*) A los efectos de esta interpretación distingo entre "objetos" y "entidades". Uso "objetos" para lo que parece que pensamos, para entidades aparentes. Luego están los objetos matemáticos , es decir, cosas matemáticas en las que (aparentemente) pensamos. Pero no son entidades genuinas y autónomas , según Platón. Nuestro pensamiento está constituido de manera diferente de lo que parece.

(**) Identifico aquí las opiniones expresadas por el personaje Sócrates en el libro 6 de la República como las opiniones de Platón.

Plato shows us that the abstract entities that we think about are always abstract Forms, Ideas (such as the Form of a triangle), but not abstract mathematical entities (such as abstract particular triangles).. Entiendo que está tratando de presentar lo que cree que son los puntos de vista de Platón, pero seguramente porque puede hacer teoremas sobre todos los triángulos, "en todos los triángulos, la suma de los ángulos es 180 °", y triángulos específicos, "El triángulo con longitudes de lado de 1-√3-2, tiene ángulos 30° 60° 90°"; parece que es obviamente falso, o tal vez podría aclarar lo que está pasando aquí.
@AnishGupta Bueno, solo puedo agregar, por el momento, que las Formas de Platón no son exactamente lo que luego se llamó "universales". No todos los términos universales representan una forma platónica. Lo que sí representa, en cambio, según Platón, no lo puedo establecer en este momento.
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