¿Cómo el área debajo del gráfico Velocidad-Tiempo representa la magnitud del desplazamiento?

Imagina dividir tu gráfica de velocidad versus tiempo en un grupo de rectángulos verticales extremadamente delgados. Es razonable decir que, en tan poco tiempo, la velocidad es constante en cualquier rectángulo dado. Entonces podemos decir que la distancia recorrida en cada pequeño instante de tiempo es igual a la velocidad en ese intervalo por la longitud del intervalo (es decir, el área del rectángulo). Sume la distancia recorrida sobre cada rectángulo delgado y obtendrá la distancia total recorrida.

Piénsalo así
La función de velocidad es un conjunto infinito de valores (correspondientes al tiempo) que describen un conjunto infinito de velocidades (puntos). En esta situación, ese conjunto de puntos es perfectamente constante en su tasa de cambio. Un rango de ejemplo es [ 0, 1, 2, 3, 4 ]. Ahora, un solo valor que representa perfectamente todos estos valores es un promedio ya que la tasa de cambio es constante. Esto significa que puedes representar este conjunto de valores perfectamente con un promedio, siendo ese promedio ( 4 - 0 ) / 2. Ahora, con un solo valor que representa perfectamente todo el rango de valores (la función de velocidad) puedes calcular el área ! Imaginando eso en lugar de un gráfico con valores crecientes, haciendo una línea con pendiente positiva entre el tiempo 0 y el tiempo x (tiempo en el eje x), usted representa el mismo valor establecido con el promedio de valor único constante (2 en nuestro ejemplo) y tiene una línea con una pendiente de cero como su nueva función representativa del valor. Simplemente multiplique el ancho del rectángulo (delta x) por la altura del rectángulo (el promedio que calculamos, 2) y tendrá su área. Esta es efectivamente la fórmula para el área de un triángulo.

Di esta respuesta porque asumo que la pregunta implica una experiencia limitada o nula con el cálculo y veo que todas las demás respuestas se derivan de conceptos del cálculo.

Sugiero buscar en el Teorema fundamental del cálculo para una comprensión más intuitiva de esta situación o, alternativamente, buscar en la suma rectangular de Riemann que probablemente alguien describió sobre esta pregunta.

Bueno, este es el punto, no puede usar (1) excepto si el intervalo es muy pequeño, de modo que su "distancia / tiempo" sea una buena aproximación para su velocidad instantánea. Entonces, para obtener la distancia total o el desplazamiento (dependiendo de cómo lo definas, pero supongamos que estamos hablando de distancia), necesitas encontrar la distancia recorrida durante todo el tiempo, pero la velocidad con la que ibas estaba cambiando. todo el tiempo, por lo que en su lugar, divide todo el tiempo en intervalos de tiempo muy pequeños de modo que su velocidad se pueda aproximar para que sea constante en esos intervalos, y luego usa el valor de la velocidad$\frac{dx}{dt}$al comienzo de cada pequeño intervalo y multiplicar por el valor que representa el intervalo de tiempo para obtener la distancia, es decir, integrar$\frac{dx}{dt}$con el tiempo. Pero si representas la velocidad en el eje y y el tiempo en el eje x, te encontrarás, mientras sumas todos los$\frac{dx}{dt} * \Delta t$, en realidad sumando áreas de pequeños rectángulos cuyas alturas son$\frac{dx}{dt}$y cuyos anchos son$\Delta x$. En otras palabras, todo el asunto del "área bajo el gráfico" es solo una consecuencia de su representación de la velocidad y el tiempo usando coordenadas rectangulares.

La ecuación (1), tal como la proporciona, da la velocidad promedio. Sucede que cuando la velocidad instantánea (la velocidad en un solo valor de tiempo) es constante, como es el caso cuando la aceleración es 0, la velocidad promedio es igual a la velocidad instantánea.

En el caso de una aceleración constante distinta de cero, como señaló, la velocidad cambia. la velocidad media$v_{av}$en este caso es

Tenga en cuenta que las ecuaciones anteriores son válidas solo para aceleración constante.

Por lo tanto, cambiaría sus ecuaciones a

(1) Velocidad Promedio = Desplazamiento / Tiempo

(2) Desplazamiento = Velocidad Promedio x Tiempo

Ahora, tanto en el caso de aceleración cero como en el caso de aceleración constante (distinta de cero), el valor de "velocidad", dado un intervalo de tiempo fijo, es un valor único, la velocidad promedio.

El punto clave aquí es exactamente la idea de la velocidad constante (rectángulo).

Sea una velocidad que cambia arbitrariamente. Dado que en cada instante de tiempo cambia la velocidad, será casi imposible calcular el desplazamiento. En este punto, lo mejor que puede hacer es regalar el valor real y aceptar un valor aproximado . Para hacerlo, en ciertos momentos en el tiempo, digamos cada 2 segundos, eliges el valor correspondiente de la velocidad y calculas el desplazamiento como si la velocidad fuera constante. En este punto, terminará con pequeños rectángulos que representan pequeñas cantidades del desplazamiento. El desplazamiento total aproximado será la suma de los pequeños desplazamientos.

Para mostrar mejor esto, usemos el triángulo (aceleración constante) de su ejemplo. En la primera figura, la gráfica de desplazamiento vs tiempo para una partícula que se mueve con una aceleración constante de$\rm a=1m/s^2$se muestra. Después$\rm t=10 s$forma el triángulo con lados de 10 por 10 unidades, cuya área es$\rm \frac{1}{2}×10×10$representado en rojo.

Después de aplicar el proceso de muestreo de 2 por 2 segundos, obtiene los rectángulos verdes de la segunda imagen. Como puede ver, el desplazamiento total aproximado es una subestimación del desplazamiento real, ya que, por ejemplo, en$\rm t=3s$todavía consideras que la velocidad es igual$\rm 2m/s$pero en realidad es más alto ($\rm 3m/s$).

Sin embargo, si haces rectángulos cada vez más delgados y luego los sumas, tu aproximación se acercará cada vez más al valor real. Por ejemplo, si se usa un muestreo de 1 segundo, el error apuntado antes para para$\rm t=3s$desaparecerá, pero no el error de$\rm t=2.5s$o$\rm t=3.5s$.

Al final, si usa el muestreo instantáneo (rectángulos infinitamente delgados) y luego suma el número infinito resultante de rectángulos, su valor aproximado coincidirá con el valor real y el área verde (que demostramos que es igual al desplazamiento aproximado) será igual al área roja, es decir , el valor real del desplazamiento es igual al área bajo la curva de velocidad vs tiempo.

Para leer más, busque las siguientes palabras clave .

1. Representación geométrica de la integración.

2. La integración como sumatoria.

PD: Esto no significa que el desplazamiento sea una especie de “área”. Es solo el resultado de representar gráficos o diagramas de funciones en una "hoja de papel". Esto significa que cuando uno representa cualquier cantidad como un gráfico, la magnitud de tal cantidad se representará como una longitud, por lo tanto, cualquier cantidad que resulte de la multiplicación de los ejes de dicho gráfico se representará como un área. Por ejemplo, el trabajo será igual al área bajo la curva de fuerza frente a desplazamiento, y la carga eléctrica será igual al área bajo la curva de intensidad de corriente frente a tiempo.