Estoy tratando de familiarizarme con la ecuación de Schrödinger mirando una partícula libre. Estoy seguro de que en algún momento entendí mal algo.
Según un libro de texto y una conferencia, la partícula libre que se mueve en la dirección x positiva se puede describir mediante
Clásicamente, esperaría que la partícula se moviera a lo largo de su trayectoria con una velocidad constante , por lo que me gustaría determinar la probabilidad encontrar la partícula entre y en el momento para compararlo con la ubicación clásica .
Como estoy buscando una ubicación, tengo que usar el operador de ubicación (trivial) y obtengo:
Lo cual no tiene ningún sentido para mí, ya que no depende de ninguno de los dos. o . La partícula no está en todos los lugares a lo largo del eje x con la misma probabilidad en todo momento; Prefiero esperar que se mueva a lo largo del eje con la velocidad pero independientemente de las constantes que meto mediante el uso de restricciones de normalización, nunca dependerá de . Pero según tengo entendido, debería.
Obviamente, mi comprensión es incorrecta y/o cometí algunos errores en mi cálculo. ¿Dónde me estoy equivocando?
Cuando resuelves la ecuación de Schrödinger para una partícula libre, obtienes una familia de soluciones de la forma y todas las superposiciones de estas funciones. Entonces, solo resolver la ecuación de Schrödinger no te da una solución para una partícula específica. Para ello es necesario especificar las condiciones iniciales.
Si tomas la solución como entonces (sin darte cuenta) estás especificando que la condición inicial es una partícula completamente deslocalizada, es decir, una de la que tenemos un conocimiento preciso del momento pero no de la posición. Es por eso que cuando intentas calcular la posición obtienes una respuesta tonta.
Si especifica las condiciones iniciales como entonces ha creado efectivamente un paquete de ondas que describe su partícula, por lo que tiene una incertidumbre finita en la posición y, por supuesto, ahora una incertidumbre finita en el momento. Ahora puede calcular el valor esperado de la posición en función del tiempo.
Su probablemente se expresará como una superposición lineal de las soluciones de onda plana. Para calcular la superposición simplemente transforme su Fourier .
Respuesta al comentario:
En tu comentario preguntas:
Primero tendría que conectar algunas restricciones y obtener un valor para A o ¿cómo haría eso?
pero no es sólo una cuestión de elegir el valor de en porque esto no describe una partícula localizada sea cual sea el valor que elija para .
Supongamos que en el momento conocemos la posición de la partícula con precisión, . Esto significa que la función de onda inicial es una función delta :
es decir es cero en todas partes excepto en . La posición de esta partícula es obviamente .
El problema es que no es obvio cómo evoluciona esta función de onda en el tiempo. Sabemos cómo evolucionan las ondas planas en el tiempo, por lo que podemos calcular fácilmente la evolución en el tiempo si pudiéramos expresar la funcionan como una suma de ondas planas:
El problema es averiguar cómo hacer esta suma, es decir, ¿cuáles son los valores de los coeficientes y cuántos términos necesitamos en la suma. Podemos resolver esto por Fourier transformando nuestro porque esto es exactamente lo que hace una transformada de Fourier. Expresa cualquier función como integral de ondas planas. El artículo de Wikipedia que he vinculado entra en más detalles sobre esto. La respuesta es que:
De hecho, elegir un La función como las condiciones iniciales no es útil porque si tenemos una posición exacta, tenemos una incertidumbre infinita en el momento, y si el momento es infinitamente incierto, no podemos calcular la posición futura. Si está tratando de describir un sistema real, elegiría algo como un Gaussiano:
Esto describe una partícula con el valor esperado de y la incertidumbre en . Ahora puede transformar su Fourier para expresarlo como una integral de ondas planas, y ahora puede calcular el valor esperado de como una función del tiempo.
Quiero dar más detalles sobre la respuesta de John Rennie. La ecuación de Schrödinger para una partícula libre es ( ):
La pregunta es, ¿cómo resolver esta ecuación con estos datos iniciales? La forma más fácil es hacer una transformada de Fourier y escribir los datos iniciales como la transformada inversa de Fourier:
Los problemas con los que te has encontrado están relacionados con el hecho de que intentas calcular la probabilidad de alguna situación no física. La mecánica cuántica puede darte la probabilidad de un resultado de algún experimento. Esta función de onda no contiene ninguna información (restricciones) sobre la forma en que se va a medir y qué se va a medir (qué operador de coordenadas o momento). En otras palabras, calculas una probabilidad de nada. Por ejemplo, para medir el momento de la partícula, las personas pueden usar el experimento de doble rendija como configuración de medición. Si desea medir una coordenada espacial, primero debe localizar la partícula usando una pantalla con un agujero o algo como esto. Para la interpretación de tales experimentos, el problema "partícula en caja" puede ser útil.
Vibert
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