¿Matriz de Pauli para el estado triplete?

Question

¿Matriz de Pauli para el estado triplete?

Prasad Mani

La pregunta es, ¿cuál sería el resultado de aplicar el operador $\hat A = [3I + \vec\sigma_1 . \vec\sigma_2]$ en la |camiseta $\rangle$ y | trillizo $\rangle$ estados ( $\vec\sigma_1$ actúa sobre la primera partícula y $\vec\sigma_2$ actúa SOLAMENTE sobre la segunda partícula), es decir,

\hat{A} | s i norte gramo yo mi t ⟩ = ? | s i norte gramo yo mi t ⟩

$\hat A|singlet\rangle=?|singlet\rangle$

y

\hat{A} | t r i pag yo mi t ⟩ = ? | t r i pag yo mi t ⟩

$\hat A|triplet\rangle=?|triplet\rangle$

Estoy atascado en la parte triple de la pregunta.

Para un sistema de 2 semipartículas de espín, donde $\vec\sigma_1$ actúa sobre la primera partícula y $\vec\sigma_2$ actúa SOLAMENTE sobre la segunda partícula (como agregar el momento angular de dos electrones)

\vec{σ} = {\vec{σ}}_{1} + {\vec{σ}}_{2}

$\vec\sigma=\vec\sigma_1+\vec\sigma_2$

cuadrando ambos lados,

{\vec{σ}}^{2} = ({\vec{σ}}_{1} + {\vec{σ}}_{2})^{2}

$\vec\sigma^2=(\vec\sigma_1+\vec\sigma_2)^2$

de la que tenemos

{\vec{σ}}_{1} . {\vec{σ}}_{2} = (σ^{2} - σ_{1}^{2} - σ_{2}^{2}) / 2

$\vec\sigma_1 . \vec\sigma_2 = (\sigma^2 - \sigma_1^{2} - \sigma_2^{2})/2$

Ahora, $\sigma_1^{2}=\sigma_{1x}^{2}+\sigma_{1y}^{2}+\sigma_{1z}^{2}=3I$ y de manera similar, $\sigma_2^{2}=3I$ .

y que para el estado singlete, el valor de $\sigma^2=0$ , (que deduje del giro total siendo $0$ para el estado singlete) que da

{\vec{σ}}_{1} . {\vec{σ}}_{2} = (0 - 3 I - 3 I) / 2 = - 3 I

$\vec\sigma_1 . \vec\sigma_2 = (0 - 3I - 3I)/2=-3I$

no se cual es el valor $\sigma^2$ es para el estado triplete (sé que el giro total $S$ es $\sqrt2\hbar$ )?

No soy capaz de relacionar el giro total con el $\vec\sigma$ adecuadamente

robar

Intente escribir la matriz y el vector de estado triplete. Edite esta pregunta para colocarla en la cola de reapertura si luego tiene una pregunta conceptual.

Prasad Mani

@rob, por favor sea un poco comprensivo. Puede que no te des cuenta de esto, pero he pasado un par de horas tratando de entender cómo escribir la matriz total de Pauli para el estado de triplete. Todo lo que tengo es un conocimiento disperso de las matrices de Pauli y los estados de singlete y triplete. Es una pena que un usuario de tu nivel no pueda tener un poco de empatía hacia un usuario mío. El hecho de que tenga el poder de poner preguntas en espera no significa que deba ponerlas si no se ajustan a su interpretación de los altos estándares de este sitio. Dar a otros la oportunidad de responder a mis dudas.

robar

Lo siento si parecí brusco, @Prasad: mostrar empatía sin hablar mucho es complicado. Su publicación editada debería estar en la cola de reapertura, y este es el tipo de pregunta que parece estar en el límite de la tarea con la que la gente de Physics Chat podría ayudar.

Prasad Mani

@rob ¿Es demasiado pedir solo dar una respuesta rápida? La respuesta dada es

8 I

$8I$ ....dice así...

σ = 2 S

$\sigma=2S$ dónde

S = \sqrt{2}

$S=\sqrt2$ y por lo tanto

σ^{2} = 4 S^{2} = 8 I

$\sigma^2=4S^2=8I$ . lo que no entiendo es como

σ = 2 S

$\sigma=2S$ para el triplete.

ZeroTheHero

Lo siento, pero tu pregunta no está del todo clara. Seguro,

σ_{1}

$\sigma_1$ actúa sobre la primera partícula, etc., pero ¿qué hace

σ^{2}

$\sigma^2$ ¿guiarse por? Presumiblemente, este es el giro total, así que

σ^{2}

$\sigma^2$ es solo el operador de la unidad (que parece llamar

I

$I$ ) multiplicado por

S (S + 1) = 1 \times 2 = 2

$S(S+1)=1\times 2=2$ para el triplete.

Prasad Mani

@ZeroTheHero, ¿más claro?

Respuestas (2)

¿Matriz de Pauli para el estado triplete?

Intente escribir la matriz y el vector de estado triplete. Edite esta pregunta para colocarla en la cola de reapertura si luego tiene una pregunta conceptual.
@rob, por favor sea un poco comprensivo. Puede que no te des cuenta de esto, pero he pasado un par de horas tratando de entender cómo escribir la matriz total de Pauli para el estado de triplete. Todo lo que tengo es un conocimiento disperso de las matrices de Pauli y los estados de singlete y triplete. Es una pena que un usuario de tu nivel no pueda tener un poco de empatía hacia un usuario mío. El hecho de que tenga el poder de poner preguntas en espera no significa que deba ponerlas si no se ajustan a su interpretación de los altos estándares de este sitio. Dar a otros la oportunidad de responder a mis dudas.
Lo siento si parecí brusco, @Prasad: mostrar empatía sin hablar mucho es complicado. Su publicación editada debería estar en la cola de reapertura, y este es el tipo de pregunta que parece estar en el límite de la tarea con la que la gente de Physics Chat podría ayudar.
@rob ¿Es demasiado pedir solo dar una respuesta rápida? La respuesta dada es $8I$ ....dice así... $\sigma=2S$ dónde $S=\sqrt2$ y por lo tanto $\sigma^2=4S^2=8I$ . lo que no entiendo es como $\sigma=2S$ para el triplete.
Lo siento, pero tu pregunta no está del todo clara. Seguro, $\sigma_1$ actúa sobre la primera partícula, etc., pero ¿qué hace $\sigma^2$ ¿guiarse por? Presumiblemente, este es el giro total, así que $\sigma^2$ es solo el operador de la unidad (que parece llamar $I$ ) multiplicado por $S(S+1)=1\times 2=2$ para el triplete.

Cosmas Zachos · Answer 1

Como @rob te pidió que hicieras, debes simplemente escribir

\hat{B} \equiv {\vec{σ}}_{1} \cdot {\vec{σ}}_{2} = σ_{1}^{X} σ_{2}^{X} + σ_{1}^{y} σ_{2}^{y} + σ_{1}^{z} σ_{2}^{z} = (σ_{1}^{X} + i σ_{1}^{y}) (σ_{2}^{X} - i σ_{2}^{y}) / 2 + (σ_{1}^{X} - i σ_{1}^{y}) (σ_{2}^{y} + i σ_{2}^{y}) / 2 + σ_{1}^{z} σ_{2}^{z} \equiv σ_{1}^{+} σ_{2}^{-} + σ_{1}^{-} σ_{2}^{+} + σ_{1}^{z} σ_{2}^{z},

$\hat{B}\equiv\vec{\sigma}_1\cdot\vec{\sigma}_2 = {\sigma}_1^x {\sigma}_2^x +{\sigma}_1^y {\sigma}_2^y+{\sigma}_1^z {\sigma}_2^z \\= ({\sigma}_1^x+i {\sigma}_1^y)({\sigma}_2^x -i{\sigma}_2^y )/2 +({\sigma}_1^x-i{\sigma}_1^y ) ({\sigma}_2^y +i{\sigma}_2^y)/2+{\sigma}_1^z {\sigma}_2^z\\ \equiv {\sigma}_1^+ {\sigma}_2^- +{\sigma}_1^- {\sigma}_2^+ +{\sigma}_1^z {\sigma}_2^z ~,$ dónde

σ^{+} ↑= 0

$\sigma^+ \uparrow=0$ , y

σ^{+} ↓=↑ \sqrt{2}

$\sigma^+ \downarrow=\uparrow \sqrt{2}$ , etc... tanto para 1 como para 2. Recordar

σ^{+} = \sqrt{2} (\begin{matrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{matrix}) .

$\sigma^+ = \sqrt{2} \begin{pmatrix} 0&1\\ 0&0 \end{pmatrix} .$

Actuando en la camiseta, $\uparrow \downarrow- \downarrow \uparrow$ , este $\hat B$ tiene el valor propio obvio -3.

el triplete es $\uparrow \uparrow$ ; $(\uparrow\downarrow+\downarrow\uparrow)/\sqrt{2}$ ; $\downarrow \downarrow$ , por lo que obviamente tiene valor propio 1 bajo la acción de $\hat{B}$ .

Su $\hat A= 3 1\!\!1 +\hat{B}$ tiene valores propios 0 y 4 respectivamente, dadas mis normalizaciones. Esto quiere decir, por supuesto, que, para el triplete, $\sigma^2/4=2=(1+1)1$ , como se esperaba.

Gracias, esto lo aclara. Sólo una cosa más. no es $\sigma^+$ = $\sigma^x+i\sigma^y$ ? ¿Cuál es el factor adicional de $1/\sqrt{2}$ . Entiendo que tenías que escribirlo así. Pero $\sigma^+$ Se define como $\sigma^x+i\sigma^y$ ¿bien?
Edité mi respuesta para mostrar explícitamente $σ^+$ como se normalizó en la expresión anterior para el término punto, entonces $1/\sqrt{2}$ de lo que escribes. Estoy usando matrices de Pauli, no matrices de espín, que son la mitad de las matrices de Pauli. Entonces, la respuesta es solo una evaluación de fuerza bruta del producto del tensor de matriz.

ZeroTheHero · Answer 2

Configuración $\hbar=1$ por simplicidad, las matrices que necesita son las $S=1$ matrices. Uno obtiene fácilmente

S_{z} = (\begin{array}{ccc} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - 1 \end{array}), S_{+} = \sqrt{2} (\begin{array}{ccc} 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \end{array}), S_{+} = S_{-}^{†},

$S_z=\left(\begin{array}{ccc} 1&0&0\\ 0&0&0\\ 0&0&-1\end{array}\right)\, ,\quad S_+=\sqrt{2}\left(\begin{array}{ccc} 0&1&0\\ 0&0&1\\ 0&0&0\end{array}\right)\, ,\quad S_+=S_-^\dagger,$ del que uno se recupera

S_{x}

$S_x$ y

S_{y}

$S_y$ invirtiendo

S_{\pm} = S_{x} \pm i S_{y}

$S_\pm=S_x\pm i S_y$ . La matriz para

S^{2}

$S^2$ será

2 \times I

$2\times I$ dónde

I

$I$ es el

3 \times 3

$3\times 3$ matriz unitaria.

Lo siento, eso es lo que pensé. Pero la respuesta que tengo es $8I$ . no se cual es el correcto. Mira los comentarios donde le dije a Rob cómo sucedió eso.
no se como deduces eso $\sigma=2S$ . $\sigma$ por sí mismo no es un número, ni es un solo operador. $\sigma^2$ tiene sentido como la suma de los cuadrados de todos los componentes, pero lo que es $\sigma$ ? ¿Una matriz?
Quería las matrices para los estados tripletes, son como arriba. No hay nada mas.
No deduje eso... mencioné todo lo que figuraba en mi libro... pensé que no tenía sentido... así que pregunté aquí. Entonces, para resumir, $\sigma=S$ sin el $\hbar$ ¿bien? No sé por qué tomaron 2S
Lo siento, todavía no has aclarado qué es. $\sigma$ . ¿Es un operador, un vector de operadores o un número?
es un operador. En realidad es una suma de dos operadores diferentes que actúan sobre su partícula correspondiente.
No creo que el tratamiento de la mitad de dos espines en un estado de triplete sea el mismo que el de UNA partícula de espín 1, aunque son similares en términos de su $m_s$ número cuántico. Así que las matrices de Pauli siguen siendo $2x2$ . Tienes que tratarlos como entidades separadas aunque indistinguibles.

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