¿Cómo determinar el período mínimo de oscilación de un péndulo físico? [cerrado]

Question

¿Cómo determinar el período mínimo de oscilación de un péndulo físico? [cerrado]

el Cid

Un péndulo físico consta de una varilla delgada y homogénea de longitud $l$ , suspendido por un punto $O$ A una distancia $x$ del centro de gravedad ( $x<\frac{l}{2}$ ), oscilando en un plano vertical. ¿Para qué valor de $x$ el periodo de oscilación es mínimo?

Tengo problemas para resolver esto. Denotando el par por $\Gamma$ y el desplazamiento angular por $\theta$ , tendríamos:

Γ = I \ddot{θ}

$\Gamma = I\ddot\theta$

Γ = - metro gramo X pecado θ \approx - metro gramo X θ

$\Gamma = -mgx\sin\theta \approx -mgx\theta$ (considerando

θ ≪ 1

$\theta \ll 1$ )

Ambas ecuaciones dan la EDO

\ddot{θ} + \frac{metro gramo X}{I} θ = 0

$\ddot\theta+\frac{mgx}{I}\theta = 0$

Tendríamos soluciones de la forma

θ = A porque (ω t + ϕ)

$\theta = A\cos(\omega t+\phi)$ dónde

ω = \sqrt{\frac{metro gramo X}{I}}

$\omega = \sqrt{\frac{mgx}{I}}$

el periodo es

τ = \frac{2 π}{| ω |} = 2 π \sqrt{\frac{I}{metro gramo X}}

$\tau =\frac{ 2\pi}{|\omega|} = 2\pi\sqrt{\frac{I}{mgx}}$

El momento de inercia $I$ sería $\frac{ml^2}{12}+mx^2$ , por el teorema de los ejes paralelos. Me detuve aquí porque no puedo encontrar el valor de $x$ minimizaría el período $\tau$ . ¿Cómo debo continuar? Si alguien conoce un enfoque diferente para resolver esto, también sería bienvenido.

Respuestas (2)

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floris · Answer 1

Estás muy cerca. En este punto tienes una expresión para $\tau$ que necesita minimizar con respecto a $x$ - simplemente no diste el último paso, que es escribir $I$ como una función de $x$ en esa expresión:

τ = 2 π \sqrt{\frac{ℓ^{2} / 12 + X^{2}}{gramo X}}

$\tau = 2\pi \sqrt{\frac{\ell^2/12 + x^2}{gx}}$

Se producirá un mínimo/máximo cuando $\frac{d\tau}{dx}=0$ . Para mantener su vida simple, vale la pena notar que si $f(x)$ tiene un máximo en $x_0$ , entonces $\sqrt{f(x)}$ también tendrá un máximo en $x_0$ . Entonces podemos quitarle algo de pelusa y buscar el máximo de

\frac{ℓ^{2} / 12 + X^{2}}{gramo X}

$\frac{\ell^2/12 + x^2}{gx}$

Confío en que puedas diferenciar este wrt x y establecer el resultado = 0 y resolver. Finalmente, debe convencerse de que ha encontrado un máximo (ya sea trazando el gráfico o calculando la segunda derivada y mostrando que es <0).

$x=\frac{l}{2\sqrt{3}}$ . yo no habré quitado $2\pi$ y la raíz cuadrada porque pensé que esto podría alterar los resultados...
¿Ves por qué eso cambiaría el valor del máximo pero no el lugar donde ocurre? Básicamente, eso se debe a que la multiplicación y la función de raíz cuadrada son monotónicas: si la entrada es mayor, la salida es mayor y viceversa. O piensa en la regla de la cadena: $f(g(x))'=f'(g(x))\cdot g'(x)$ que tiene un cero cuando $g'$ tiene un cero
Más tarde me di cuenta de algo interesante: el resultado es exactamente el radio de giro de la barra alrededor de un eje que pasa por el centro. Resolviendo para un cuerpo rígido general (con $I = Mk^2 + Mx^2$ ) rendimientos $x=k$ por un período mínimo, donde $k$ es el radio de giro (en el ejemplo particular, $k=\sqrt{\frac{l^2}{12}}$ )

micha · Answer 2

Es posible que desee poner el momento de inercia

I (X) = a + b X^{2}

$I(x) = a + b x ^ 2$ en la fórmula para

τ

$\tau$ , luego diferencie con respecto a

x

$x$ y descubre el

x

$x$ , para cual

\frac{d τ}{d X} = 0

$\frac{d \tau}{dx} = 0$

¿De dónde sacaste este momento de inercia? No es correcto; En realidad $a$ y $b$ ni siquiera están definidos para este problema.
Arriba, necesitaba volver a editar mi fórmula I(x), alguien la editó después de mi primera respuesta a su pregunta, pero se equivocó. Por lo tanto, el otro extremo posible desapareció, hasta hoy ;-) Por cierto. Era nuevo aquí y no sabía cómo formatear mi publicación (Latex, supongo que ahora ...). Saludos.

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