¿Cómo aplico correctamente el teorema de los ejes paralelos a un sistema de esferas de varillas que giran alrededor de su centro de masa?

En la imagen de abajo, ves una varilla con una esfera unida a su lado derecho. El sistema rod-esfera está girando alrededor del centro de masa de todo el sistema. ¿Cómo aplico el teorema de los ejes paralelos para encontrar el momento de inercia de todo el sistema de esferas de varillas que giran alrededor del centro de masas de todo el sistema?

Aquí está mi proceso de pensamiento y agradecería si la comunidad pudiera darme una pista:

Aplique el teorema del eje paralelo a la barra y la esfera por separado y luego sume sus momentos de inercia para formar el momento de inercia de todo el sistema.

Información dada:

longitud de la varilla =$L$

radio de la esfera =$R$

masa de la varilla =$m_{r}$

masa de la esfera =$m_{s}$

$I_{rod} = I_{rod,CM} + m_rd_{rod}^2$(Eje paralelo Thm. aplicado a la varilla)

dónde$d_{rod}=$distancia del centro de la barra al centro de masa de todo el sistema barra-esfera.

$I_{sphere} = I_{sphere,CM} + m_sd_{sphere}^2$(Eje paralelo Thm. aplicado a la esfera)

dónde$d_{sphere}=$distancia del centro de la esfera al centro de masa de todo el sistema rod-esfera.

Así que la respuesta final debería ser

$I_{tot} = I_{rod} + I_{sphere}$

¡Pero esto aparentemente está mal! Entonces, ¿qué estoy haciendo mal aquí?