¿Cómo demuestra Feynman que la suma de dos vectores es un vector? (Conferencias de Feynman)

Estoy leyendo las conferencias de Feynman sobre física, volumen 1, capítulo 11, Vectores . Él dice:

Suma de dos vectores: supongamos que a es un vector que en algún sistema de coordenadas particular tiene las tres componentes ( a X , a y , a z ) , y eso b es otro vector que tiene las tres componentes ( b X , b y , b z ) . Ahora inventemos tres nuevos números ( a X + b X , a y + b y , a z + b z ) . ¿Estos forman un vector?

“Bueno”, podríamos decir, “son tres números, y cada tres números forman un vector”. ¡No, no cada tres números forman un vector! Para que sea un vector, no solo debe haber tres números, sino que estos deben estar asociados a un sistema de coordenadas de tal manera que si giramos el sistema de coordenadas, los tres números “giran” uno sobre otro, obteniéndose “ mezclados” entre sí, por las leyes precisas que ya hemos descrito.

Entonces la pregunta es, si ahora rotamos el sistema de coordenadas para que ( a X , a y , a z ) se convierte ( a X ′ , a y ′ , a z ′ ) y ( b X , b y , b z ) se convierte ( b X ′ , b y ′ , b z ′ ) , Que hace ( a X + b X , a y + b y , a z + b z ′ ) ¿convertirse en? Haz que se convierta ( a X ′ + b X ′ , a y ′ + b y ′ , a z ′ + b z ′ ) ¿O no? La respuesta es, por supuesto, sí, porque las transformaciones prototipo de la Ec. (11.5) constituyen lo que llamamos una transformación lineal. Si aplicamos esas transformaciones a a X y b X Llegar a X ′ + b X ′ , encontramos que la transformada a X + b X de hecho es lo mismo que a X ′ + b X ′ .

No soy capaz de entender esto claramente. Si ( a X + b X , a y + b y , a z + b z ) representa un vector, entonces estos tres números se transformarán de acuerdo con las reglas descritas, es decir X componente en rotación a través de un ángulo θ se convierte en: X porque ⁡ ( θ ) + y pecado ⁡ ( θ ) . Pero aquí estamos averiguando si a X + b X se transforma de la misma manera que un componente vectorial X se transforma si estuviera sujeto a rotación, pero no podemos aplicar esa regla de transformación si no sabemos que a + b es un vector verdad? Queremos demostrar que un componente de a + b se transforma de la misma manera que un componente de X (un vector), pero aplica esa regla de transformación a a X + b X , y dice el transformado a X más b X es lo mismo que a X transformado individualmente en a X ′ más b X transformado individualmente en b X ′ , es decir a X ′ + b X ′ . ¿Cómo puede aplicar la regla de transformación si quiere probar que es un vector y no sabe si es un vector y qué es una transformación lineal?

Respuestas (3)

Decimos que algo es un vector si su transformación sigue ciertas reglas. Esto implica que necesitamos definir la transformación antes de definir el vector.

Una Transformación transforma tres números cualesquiera de K a K' mediante una regla tal que T ( [ X , y , z ] ) = [ X ′ , y ′ , z ′ ] . No necesitamos el concepto de vectores allí.

Decir a es un vector significa conocer su representación en K, que es [ a X , a y , a z ] , podemos calcular su representación en K' por T ( [ a X , a y , a z ] ) = [ a X ′ , a y ′ , a z ′ ] .

Probar a + b es un vector necesitamos sus dos representaciones en K y K'. Y si siguen la transformación T , es un vector.

Para obtener la representación de a + b en K y K' debemos definir la suma. Puedes definirlo así:

  1. Si agrega dos vectores, obtiene una "cosa" que tiene representaciones en diferentes sistemas de coordenadas

  2. la representación de a + b es tal que en cualquier sistema de coordenadas ( a + b ) X = a X + b X , lo mismo con y y z.

Por lo tanto, sabes a + b tiene representaciones [ a X + b X , a y + b y , a z + b z ] y [ a X ′ + b X ′ , a y ′ + b y ′ , a z ′ + b z ′ ] en K y K'.

Ahora si T ( [ a X + b X , a y + b y , a z + b z ] ) = [ a X ′ + b X ′ , a y ′ + b y ′ , a z ′ + b z ′ ] podemos decir a + b es un vector

De hecho T ( [ a X + b X , a y + b y , a z + b z ] ) = [ ( a X + b X ) ′ , ( a y + b y ) ′ , ( a z + b z ) ′ ] y no hay una regla que diga ( a X + b X ) ′ = a X ′ + b X ′ .

Ahí es donde agregamos una condición de que esta transformación es lineal , lo que da exactamente esto ( a X + b X ) ′ = a X ′ + b X ′ propiedad.

Esto es una especie de trampa, pero eso es solo matemáticas, convertir los resultados que necesita en definiciones.

Creo que Feynman está haciendo un mal tiempo con esto. Los vectores se pueden definir mediante las reglas de la suma y la multiplicación escalar (en álgebra lineal también podríamos querer demostrar que satisfacen los axiomas del espacio vectorial, que no mencionan específicamente las coordenadas). Entonces es sencillo mostrar que se obedecen las transformaciones de coordenadas.

Los físicos suelen pensar en esto de una manera diferente. Buscan abstraer vectores como datos tabulados de una situación física. Luego usan la transformación de coordenadas como una prueba de los datos para establecer si una tabulación particular representa un vector. Una forma equivalente de decir que una tabulación en particular no es un vector sería decir que no podemos combinar miembros de esa tabulación mediante la suma y la multiplicación escalar para obtener otra tabulación válida.

Un vector, en su interpretación geométrica, no es simplemente una tupla de números. Como dice Feynman, una tupla es un vector si cumple una ley de transformación precisa, cuando se cambia el sistema de coordenadas. Así que supongamos que a y b son vectores. Bajo una transformación de coordenadas podemos encontrar una matriz Λ tal que los nuevos componentes de los vectores en el nuevo sistema de coordenadas están relacionados con el antiguo a través de la relación lineal

a ′ = Λ a , b ′ = Λ b .

Si ahora consideramos la suma a + b simplemente como la tupla de sus componentes, la pregunta es si se trata de un vector en el sentido anterior. Es decir, ¿es cierto que, bajo la misma transformación que nos dio Λ , tenemos ( a + b ) ′ = Λ ( a + b ) ? Dado que Λ es lineal, esta igualdad se satisface precisamente cuando ( a + b ) ′ = a ′ + b ′ . Por lo tanto, siempre que demos por sentado que

( a + b ) ′ = a ′ + b ′

la tupla de los componentes de a + b se transforma como un vector en el sentido geométrico.

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