¿Cómo sabemos que el movimiento de la partícula en un campo de fuerza central se encuentra en un plano?

RESPUESTA PICTÓRICA

En la Figura vemos 4 posiciones$\;\rm P_1,P_2,P_3,P_4\;$de la partícula en movimiento con vectores de posición$\;\mathbf{r_1},\mathbf{r_2},\mathbf{r_3},\mathbf{r_4}$. Bajo la influencia de una fuerza central, el vector de momento angular$\;\mathbf{L}=\mathbf{r}\boldsymbol{\times}m\mathbf{v}\;$es constante los vectores$\;\mathbf{r},\mathbf{v}\;$son la posición y el vector de velocidad de la partícula en un momento de tiempo arbitrario.

Entonces

Entonces todos los puntos$\;\rm P_\jmath\;$, todos los vectores de posición$\;\mathbf{r_\jmath}\;$y en consecuencia todos los vectores de velocidad$\;\mathbf{v_\jmath}\;$estar en un plano perpendicular a$\;\mathbf{L}\;$y tenemos movimiento plano.

Si la fuerza sobre un objeto es radial,$\mathbf{F}\parallel\mathbf{r}$entonces el momento angular$\mathbf{L}=\mathbf{r}\times\mathbf{p}$tiene una derivada temporal que se desvanece, una suma de dos productos cruzados de vectores paralelos, a saber.$\mathbf{v}\times\mathbf{p}+\mathbf{r}\times\mathbf{F}$. Es la ortogonalidad a este momento angular conservado lo que completa la demostración.

Curiosamente, esto no tiene nada que ver con 3D y productos cruzados per se: podemos definir el momento angular$L^{ij}:=x^ip^j-x^jp^i$en dimensión espacial arbitraria$d$, y la declaración del título de OP sigue siendo cierta.

Esto se sigue simplemente del hecho de que una fuerza central produce las ecuaciones de movimiento$\dot{\bf x} \parallel {\bf p}$y$\dot{\bf p} \parallel {\bf x}$(que a su vez implica que el momento angular$L^{ij}$se conserva). Definir$\pi$ser el plano/línea/punto (a través del origen) que se extiende por los vectores de posición inicial y momento. Deducir (a partir de las ecuaciones de movimiento$\dot{\bf x} \parallel {\bf p}$y$\dot{\bf p} \parallel {\bf x}$) que la masa puntual sigue confinada a este plano/línea/punto$\pi$para todo el tiempo$t$.$\Box$