¿Cómo definir matemáticamente el pseudovector?

También puede verlo en el contexto de la teoría de la representación de grupos.

$O(n)$es generado por los mismos generadores infinitesimales que$SO(n)$más el generador discreto$\mathbf P$que es la paridad. El operador de paridad genera un subgrupo discreto$\mathbb Z/2\mathbb Z$en$O(n)$).

Así que si elegimos una representación$\rho_{SO}$de$SO(n)$y una representación$\rho_P$de$\mathbf P$, podemos construir una representación$\rho$de$O(n)$:

• Si el operador de paridad se representa trivialmente$\rho(\mathbf P)=1$, obtenemos una "pseudo representación" (pseudoescalar, pseudovector, pseudotensor, etc.).
• Si acaso$\rho(\mathbf P)=−1$, obtenemos una representación "normal" (escalar, vectorial, tensor, etc.).

Si respondes a la pregunta ¿Qué es un espinor? con Un espinor es un objeto que se transforma en la representación fundamental de$SU(2)$, entonces la respuesta a tu pregunta es

Un pseudoescalar/pseudovector/pseudotensor es un objeto que se transforma en el$O(n)$representación que representa a) el operador de paridad de forma trivial, y b) el$SO(n)\subset O(n)$subgrupo en una representación escalar/vectorial/tensor.

Tenga en cuenta que esto funciona solo para impares$n$.

Todo esto se relaciona con el hecho de que cada vez que habla de una transformación, necesita toda la física relevante para transformarse.

Por ejemplo, la velocidad no se transformaría de la forma en que se transforma sin requerir la trayectoria$x^i(t)$es tangente a transformar también. En el sentido de la notación que usas, tenemos$v \equiv \left\langle x^i(t),\frac{\mathrm d}{\mathrm dt}\right\rangle$y la paridad y otras transformaciones actuarían entonces sobre este par. Por lo tanto, cuando decimos que algo se "transforma" de cierta manera, en realidad es una declaración sobre la relación con los objetos de los que se deriva y sus propias transformaciones.$^\dagger$. Lo dicho se aplica también a su ejemplo con el producto vectorial.

Por cierto, un pseudovector puede considerarse una entidad por sí mismo sin necesidad de referirse al producto vectorial. Un buen ejemplo es el vector de velocidad angular . Pero en ese mismo artículo puede ver que en realidad es bastante práctico usar una matriz de velocidad angular antisimétrica . La equivalencia de la representación a través de una matriz antisimétrica (o "tensor") y un pseudovector se describe en completa abstracción por ACuriousMind en la respuesta ya vinculada en los comentarios.

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$^\dagger$Esta es una imagen simplificada, la física es en realidad principalmente relacional, por lo que puede que no sea obvio qué es el "derivado" y qué el "original". En este sentido, los objetos "originales" serían puntos en el espacio.

Tu conclusión de que

Creo que un pseudovector es en realidad una función de vectores equipados con argumentos preasignados y cada transformación en un vector tiene una contraparte en un pseudovector como$\tilde P$.

es, creo, esencialmente correcto; la razón por la que la paridad es confusa es que tendemos a dejar caer la tilde.

Más precisamente, cuando las consideraciones de paridad están sobre la mesa, para todos los propósitos prácticos, los vectores y los pseudovectores viven en diferentes espacios vectoriales, que llamaré$V$y$W$. Un hecho clave que hace que esto funcione es el hecho de que la suma de un vector y un pseudovector está mal definida, y tal combinación nunca se usa ni es físicamente relevante.

En ese sentido, el producto cruz es una función bilineal

$$\times:V\times V\to W$$ cuyo dominio es un espacio vectorial diferente. (Del mismo modo, puede definir las operaciones análogas $\times:V\times W\to V$y $\times:W\times W\to W$, que nunca corren peligro de confundirse entre sí.) La operación de paridad luego se divide en dos transformaciones, $P_V$en $V$y $P_W$en $W$, que están relacionados con el producto vectorial como $$P_V(v_1)\times P_V(v_2)=P_W(v_1\times v_2).$$

Sin embargo, debido a que nunca aplica$P_V$a los objetos en$W$y viceversa, es aceptable eliminar los subíndices.

Ahora, he sido deliberadamente vago sobre lo que$W$en realidad es. Ciertamente es isomorfo a$V$, y comparte una buena estructura con él (por ejemplo, puede extender el producto punto a combinaciones de ambos, aunque eso le da un pseudoescalar ). Sin embargo, las versiones que son útiles para generalizaciones a dimensiones más altas y geometrías más complejas (por ejemplo, espacio-tiempo curvo) parecen bastante diferentes; están muy bien descritos en esta respuesta de ACuriousMind .

Al final, sin embargo, creo que las preguntas de la forma "¿qué es, matemáticamente, el objeto$X$?" no son realmente tan útiles; en cambio, las preguntas fructíferas que realmente te hacen avanzar en las matemáticas son del tipo "¿cómo$X$comportarse matemáticamente?". La respuesta a eso suele ser un conjunto de axiomas que son suficientes para tipificar el comportamiento del objeto, e incluso especificarlo de manera única hasta un isomorfismo canónico. En ese caso, puede llegar a construcciones que prueban la existencia, pero en cierto sentido todo lo que necesitas son los axiomas.

Un caso en el que eso sucede es con los tensores, donde la propiedad universal es un axioma de este tipo. (Para ver ejemplos, consulte este hilo ). En lo que respecta a los pseudovectores, los hechos expuestos anteriormente se acercan bastante a un conjunto completo de axiomas que restringen su comportamiento lo suficientemente cerca como para ser útiles.