¿Existe una interpretación física de un tensor como un vector con cualidades adicionales?

Creo que una forma más segura, a nivel básico, de pensar en un tensor es pensar en él como una función que toma en$n$vectores, y escupe un número, y en cada uno de sus argumentos, satisface:

dónde$a,b$son numeros y${\vec v}, {\vec w}$son vectores, y los otros argumentos de$T$son reprimidos. Ciertamente, hay detalles adicionales en los que entrar (sobre formas únicas, gradientes y transformación de coordenadas), pero esta es la idea base.

Los matemáticos modelan ideas y estudian sus propiedades. En matemáticas, un espacio vectorial modela un conjunto de cosas que se comportan como pequeñas flechas cuando se suman y multiplican por números.

La definición matemática de un espacio vectorial es un conjunto con una operación de suma y una operación de multiplicación por número que sigue 8 reglas. Cualquier cosa que cumpla con la definición es de interés para los matemáticos. Por ejemplo, el conjunto de funciones continuas en el intervalo [0,1] es un espacio vectorial.

Los matemáticos descubren cosas como que todo espacio vectorial tiene al menos una base. Todas las bases de un espacio vectorial dado tienen el mismo número de vectores. Este número se llama la dimensión.

Dado que un espacio tensorial cumple con la definición de un espacio vectorial, es un espacio vectorial.

Los físicos a menudo encuentran que los matemáticos inventan herramientas útiles. Pero los físicos están interesados ​​en modelar el comportamiento del universo. Usan las herramientas de manera diferente a como lo hacen los matemáticos. Por ejemplo, a menudo están menos interesados ​​en el rigor matemático.

En su mayor parte, los físicos usan vectores para modelar cosas como el espacio o el impulso. Encuentran que los vectores son útiles si tienen una norma (o métrica o longitud) y todos los componentes son del mismo tipo de cantidad. La dirección de avance es el espacio. De lado está el espacio.

Si todos los componentes son iguales, puede cambiar la base y seguir usando el espacio vectorial para modelar el universo. Si estoy mirando hacia adelante y usted está a 45 grados a la derecha, ambos podemos usar$F = ma$.

Debido a esto, los físicos están muy interesados ​​en cómo se transforman los vectores cuando cambias la base.

Y aquí es donde difieren los tensores. Los tensores de rango 2 se transforman de manera diferente que los tensores de rango 1. Entonces, para los físicos son objetos diferentes.

Aparte, tenga en cuenta que, en relatividad, uno de los componentes es diferente de los demás. Los físicos han definido una métrica útil, no del todo kosher. Descubrieron que cuando cambias la base, obtienes un modelo útil del universo desde el punto de vista de un observador a una velocidad diferente.

Aparte de eso, los matemáticos considerarían que el espacio de fase de la mecánica estadística es un espacio vectorial. Pero a los físicos no les importan mucho las propiedades vectoriales del espacio de fases. No agregan vectores ni cambian la base. Simplemente siguen la trayectoria de un punto a medida que evoluciona un sistema.

Si desea tensores antisimétricos, existen bloques de construcción geométricos bien conocidos. Por ejemplo, si toma dos vectores ortogonales, puede multiplicarlos para obtener el plano orientado que abarcan (con la orientación determinada por el orden en que los multiplicó). De manera similar, para tres vectores ortogonales entre sí, tenga en cuenta que hay 6 formas de multiplicarlos, pero debido a que son anticonmutadores por pares, solo hay dos orientaciones. en un$n$-espacio dimensional que podrías tener tantos como$n$vectores mutuamente ortogonales por lo que tienen un rango$n$objeto.

Ahora, si desea considerar agregar estas cosas antisimétricas de mayor rango, puede insistir en que la suma se distribuya a través de la multiplicación. Y ahora debe elegir, asumir todos los vectores anticonmutación (no solo los ortogonales) y usar$\wedge$para el símbolo de multiplicación y obtener un álgebra de Grassmann. O asumes que un vector multiplicado por sí mismo da su longitud al cuadrado y obtienes un álgebra de Clifford.

Pero en realidad, mentí acerca de tener que tomar una decisión ya que usamos el$\wedge$para denotar el producto antisimétrico sobre vectores, podemos tener ambos productos ya que están definidos sobre la misma cosa (combinaciones lineales de productos de vectores ortogonales). Así que podemos tener el producto del álgebra de Grassmann y el producto del álgebra de Clifford, y llamarlo álgebra geométrica. Los bloques de construcción básicos son los productos de vectores ortogonales, que están poco orientados 1-volumen, 2-volumen, 3-volumen, ... o$n$-volúmenes. Todo lo demás es una combinación lineal de esos.

Sin embargo, los tensores incluyen tensores simétricos, así que esto no te da esos tensores como objetos geométricos. Entonces, es posible que deba pensar en el espacio completo de tensores como funciones multilineales en vectores.

Al presentar el tensor de tensión a los ingenieros universitarios, observé que, si un cuerpo se deforma por un estado de tensión, y lo imaginamos cortado por un plano, entonces hay un vector (de fuerza) que actúa a lo largo (pero no normal) del plano. . Para especificar completamente el estado de tensión, debe cortar el cuerpo con tres planos, cada uno de los cuales puede especificarse mediante su vector normal. Entonces, el estrés es algo que tiene un vector componente asociado con cada dirección en el espacio. Este 'algo' es un tensor (de segundo orden).

En breve:

...un vector tiene un componente escalar (a falta de una palabra mejor) en cada dirección en el espacio

...un tensor (de segundo orden) tiene un vector componente asociado con cada dirección en el espacio

Alternativamente:

...un vector tiene magnitud y dirección

...un tensor tiene magnitud(es) y dos direcciones (una para el vector componente y otra para el plano).

Encuentro que esto da una mejor imagen física que 'algo que se transforma de acuerdo con...' o 'un mapeo entre...' de los matemáticos. Hago eso más tarde.

¿Existe una interpretación física de un tensor?

Desde una perspectiva geométrica, y teniendo en cuenta la dualidad entre (1, 2, 3...) -formas y (1, 2, 3...) -vectores, obsérvese que una sola forma (rango 1 covariante tensor) puede representarse como una serie de superficies que produce un número cuando se contrae con un vector; siendo el número el número de superficies atravesadas por el vector.

Generalizando a rangos más altos, una forma de dos puede representarse como una estructura similar a un 'panal de abeja' que produce un número cuando se contrae con una superficie con un sentido de circulación; siendo el número el número de tubos que perforan la superficie.

Una forma de tres se puede representar como una estructura similar a una 'caja de huevos' que produce un número cuando se contrae con un volumen; siendo el número el número de celdas dentro del volumen.

Esto se expone esencialmente en las páginas 115 - 117 de MTWs " Gravitation ". Por ejemplo:

Los tensores son una clase de objetos, que incluye tanto escalares como vectores.

Hay tensores de rango$n$que son objetos con una magnitud y$n$direcciones ortogonales, que consta de$3^n$componentes Ejemplos de esto incluyen el vector mismo, la díada (compuesta por vectores) o la tríada (compuesta por díadas), la tétrada...

Físicamente, un tensor es solo una colección de vectores que los físicos estudian como un solo objeto porque los vectores están relacionados entre sí de una manera físicamente "interesante".

Los tensores no poseen propiedades adicionales a las ideas de magnitud y orientación de un vector; todo lo que se puede hacer es asignar un vector a ciertos arreglos de vectores de ciertos tensores.