¿Por qué BB\mathbf{B} es un pseudovector?

Es un pseudo-vector porque es el rotacional de un vector potencial, o porque su rotacional es un vector ($\displaystyle{\vec{J}}$,$\displaystyle{\frac{d\vec{E}}{dt}}$).

O: considere la ley de Biot-Savart, que la expresa como una integral sobre el producto cruzado (pseudo-vector) de 2 vectores.

También se puede mirar la Ley de Lorentz:

$$\vec{F}= q\left(\vec{E} + \vec{v}\times \vec{B}\right)$$

$\vec{B}$debe ser un pseudo-vector para que su producto vectorial con un vector sea un vector (fuerza). Una consideración más profunda de esta ley como lo único que tiene sentido frente a la covarianza en la Relatividad Especial puede proporcionar una comprensión más profunda.

Como muchos pseudovectores,$\mathbf{B}$se considera más correctamente (o más completamente) como una forma de dos. es la parte inferior derecha$3\times 3$, bloque simétrico sesgado (la parte espacial) del tensor de Faraday, por lo que en realidad representa un plano dirigido. Alternativamente, como la derivada exterior del vector potencial de una sola forma, es una forma de dos. En 3 dimensiones, podemos equiparar un plano dirigido a un vector tomando este último como la unidad normal al plano, con una orientación apropiada y consistente. La operación que nos hace este "trampa" (que solo funciona en tres dimensiones) y nos permite pensar en planos definidos por vectores es el dual de Hodge, que implica la multiplicación por el tensor de Levi-Civita.$\epsilon$. Es el$\epsilon$, y su comportamiento bajo una transformación de paridad, que provoca la "pseudoness" de$\mathbf{B}$.

Escrito más completamente, el mapeo del vector potencial a$\mathbf{B}$es$\mathbf{B}=\mathrm{curl}\mathbf{A} = (\star(\mathrm{d}\mathbf{A}_\flat))^\sharp$y es el minestrone de Gibbs-Heaviside que combina las dos operaciones derivadas exteriores seguidas por Hodge dual con aumento y disminución de los índices para cambiar los vectores a una forma y viceversa, mostrando cómo$\mathbf{A}\mapsto\nabla\times\mathbf{A}$se le ocurre una forma de dos disfrazada.$\star$es el "pseudo"-culpable aquí!

---

Si desea una visualización física de por qué el$\mathbf{B}$vector recoge su signo anómalo en una isometría incorrecta, uno realmente no puede hacerlo mejor que el diagrama a continuación, tomado del artículo de Wikipedia Pseudovector .

Compruebe la dirección de la$\mathbf{B}$campo de un lazo de corriente cuando el lazo experimenta una reflexión. Por lo tanto, es fácil ver que$\mathbf{B}$se asigna a un campo vectorial con la dirección opuesta al campo vectorial de imagen especular.

En realidad, esta pequeña imagen es mucho más general que los campos magnéticos y la corriente, ya que no es más que una visualización de la derivada exterior de una forma doble; podemos pensar intuitivamente en la derivada exterior como la integral sobre una forma diferencial sobre el límite de un elemento infinitesimal del espacio dividido por la magnitud con signo de la forma del volumen para ese espacio. Si esto suena complicado, en 2 dimensiones no es más que visualizar el rizo de un campo vectorial como la circulación alrededor de un bucle dividido por el área firmada del bucle - el signo de este último se invierte cuando hacemos una isometría impropia. Este es un ejemplo elegante en consonancia con un enfoque del cálculo exterior que puede ser útil:

Peter Schröder y Keenan Krane, "Geometría diferencial discreta: una introducción rápida y sucia a la geometría de superficies"

En términos generales, cualquier vector que obtenga al hacer un producto cruzado es un pseudovector. Esto porque al definir un sistema de coordenadas, tiene dos opciones: puede definir un sistema de coordenadas de mano derecha o uno de mano izquierda. En un sistema diestro, el dedo índice apunta en el$x$dirección, el dedo medio apunta en el$y$dirección, y el pulgar apunta en el$z$dirección.

Lo mismo es cierto para un sistema para zurdos, pero en su lugar se usa la mano izquierda. La definición del producto cruz es:

$$\begin{cases} \mathbf{\hat x} \times \mathbf{\hat y} = \mathbf{\hat z}, \\ \mathbf{\hat y} \times \mathbf{\hat z} = \mathbf{\hat x}, \\ \mathbf{\hat z} \times \mathbf{\hat x} = \mathbf{\hat y}. \end{cases}$$ Si miras solo la primera línea, un producto cruzado de algo en el$x$dirección con algo en el$y$dirección siempre resultará en algo en el$z$dirección, independientemente de si nuestro sistema es diestro o zurdo. Por eso,$\mathbf{\hat x} \times \mathbf{\hat y}$en un sistema diestro apuntaría en la dirección opuesta a$\mathbf{\hat x} \times \mathbf{\hat y}$en un sistema para zurdos! Pero nuestra elección en el sistema es completamente arbitraria, y nuestra preferencia por los sistemas de mano derecha es solo el resultado de que la mayoría de nosotros somos diestros.

En física, algunos vectores como el momento, la aceleración, etc. no dependen de esta elección arbitraria, pero como el campo magnético es el resultado de un producto cruzado entre el flujo de corriente y el vector de posición, evidentemente sí. En este sentido, es menos "real" que esos otros vectores, de ahí el nombre de "pseudovector". Ciertamente podríamos haber usado un sistema para zurdos en su lugar, y el campo magnético cambiaría de dirección, pero esto no importa; no observamos campos magnéticos, observamos sus efectos sobre partículas cargadas en movimiento. Y como este efecto también viene dado por un producto vectorial,

$$\mathbf F = q \mathbf v \times \mathbf B,$$ siempre que seamos consistentes con nuestro uso de la regla de la mano derecha/izquierda, obtendremos la misma dirección para la fuerza, independientemente de nuestra elección de la mano. En ese sentido, la fuerza es más "real" de un vector que el campo magnético. (Si ha estudiado alguna mecánica rotacional, otros ejemplos de pseudovectores incluyen el momento angular y el par, los cuales resultan incidentalmente de productos cruzados).

Tal vez la mejor manera es pensar en$\vec{B}$en términos de la ley Biot-Savart .

Imagina un bucle que transporta una corriente.$I$en un plano que es perpendicular a un espejo. La ley de Biot-Savart dice que el campo B en la posición$\vec{r}$es dado por

$$\vec{B}(\vec{r}) = \frac{\mu_0}{4\pi}\, \oint \frac{I\, d\vec{l} \times \vec{r'}}{|\vec{r'}|^2}\ dl,$$ dónde$\vec{r'} = \vec{r}-\vec{l}$es el desplazamiento desde un elemento en el bucle hasta donde se calcula el campo.

Este es un vector axial porque si miramos esta situación en un espejo, la corriente parecería fluir en el sentido opuesto,$\vec{l}$se invierte y el$\vec{B}$el campo debería estar en la dirección opuesta a su imagen especular. es decir, una imagen especular real se vería como si estuviera obedeciendo una regla de la mano izquierda, en lugar de una regla de la mano derecha.

En realidad, este es exactamente el ejemplo utilizado en la página de wikipedia sobre pseudovectores, que es otro nombre para un vector axial.

En este ejemplo, ambos$\vec{l}$y$\vec{r}$son desplazamientos y son vectores verdaderos. Su producto vectorial debe ser un vector axial.

Estás preguntando sobre una transformación de paridad, pero que yo sepa$\vec{B}$no cambia por una inversión de paridad. Los vectores axiales no cambian de signo bajo inversiones de paridad. El momento angular es otro ejemplo de un vector axial que no cambia bajo una inversión de paridad.$\vec{A}$por otro lado es un vector verdadero y tiene su signo invertido por una inversión de paridad. El rotacional de un vector verdadero es un vector axial y el rotacional de un vector axial es un vector verdadero. Entonces$\nabla$se está comportando como un verdadero vector en este sentido donde$\nabla \rightarrow -\nabla$es impar bajo una inversión de paridad (porque$\partial/\partial x \rightarrow -\partial/\partial x$etc.)

NB: copiado de la pregunta duplicada directa más antigua, que parece haber recibido menos atención.